Фізика для інженерів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 3 m/s². Знайдіть його швидкість v через 900 m.

v₀ = 0a = 3 m/s²s = 900 m

v = m/s

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 2 m/s² протягом 9 s, потім їде зі сталою швидкістю 23 s і нарешті гальмує з прискоренням 4 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 9 st₂ = 23 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 3 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 3 kgθ = 45°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 9,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 3 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 40 m/s, і він має впасти на відстані 135 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 40 m/sR = 135 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 45° до горизонту з вершини скелі висотою 15 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 20 m/sθ = 45°h = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 100 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,7. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 100 km/hμ = 0,7g = 9,81 m/s²

d = m

8.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 5000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2,5 kgh = 5 mL = 4 mμ = 0,15k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

9.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 8 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 4 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 22 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 8 gM = 4 kgh = 22 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 2000 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1600 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 13 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,6. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 2000 kgm₂ = 1600 kgd = 13 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

11.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Нерозривність і БернулліСередня

Трубка Піто–Прандтля у водопровідній трубі показує різницю 12 kPa між тиском гальмування і статичним тиском. Знайдіть швидкість води v біля носика трубки.

p₀ − p = 12 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.Нерозривність і БернулліСкладна

Горизонтальним витратоміром Вентурі (вхід 100 mm, горловина 60 mm) тече вода. Ртутний U-подібний манометр, під’єднаний між входом і горловиною, показує різницю рівнів 140 mm. Коефіцієнт витрати 0,99. Знайдіть витрату Q. Прийміть ρ = 1000 kg/m³ для води, 13 600 kg/m³ для ртуті та g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmΔh = 140 mmC_d = 0,99ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

15.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 200 g газу (N₂) при 300 kPa і 0 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 200 gM = 28,01 g/molP = 300 kPaT = 0 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Стала кількість газу (N₂) переходить від 300 kPa, 2 L, 30 °C до 150 kPa і 130 °C. Знайдіть новий об’єм V₂.

P₁ = 300 kPaV₁ = 2 LT₁ = 30 °CP₂ = 150 kPaT₂ = 130 °C

V₂ = L

17.Теплові машини й холодильникиСередня

Оборотний тепловий двигун (Карно) отримує за цикл 3400 kJ теплоти від резервуара з температурою 725 °C і віддає 1050 kJ. Знайдіть температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 725 °CQ_H = 3400 kJQ_L = 1050 kJ

T_L = °C

18.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос подає 11,5 kW теплоти в систему опалення з температурою 22 °C, відбираючи теплоту від джерела з температурою 0 °C. Його дійсний COP становить 40 % від COP Карно між цими температурами. Знайдіть електричну потужність Ẇ, яку він споживає.

T_H = 22 °CT_L = 0 °Cη_II = 40%Q̇_H = 11,5 kW

Ẇ = kW

19.Хвилі, звук і оптикаСередня

Мала гучномовна колонка випромінює звукову потужність 1 Вт однаково в усіх напрямках. Знайдіть рівень інтенсивності звуку β на відстані 5 м.

P = 1 Wr = 5 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

20.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Оптичне волокно має осердя з n₁ = 1,55 і оболонку з n₂ = 1,45. Знайдіть найбільший кут θ_a до осі волокна, під яким світло з повітря може увійти в торець волокна й усе одно направлятися повним внутрішнім відбиттям.

n₁ = 1,55n₂ = 1,45n₀ = 1,00

θ_a = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: v = 73,48 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Швидкість після проходження відстані

v = √(2·a·s) = √(2·3·900) = 73,48 m/s

Відповідь

v = 73,48 m/s

(264,5 km/h)

2.Кінематика

Відповідь: s = 535,5 m

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 2·9 = 18 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·2·9² = 81 m

s₂ = 18·23 = 414 m

s₃ = 18²/(2·4) = 40,5 m

Повна відстань

s = 81 + 414 + 40,5 = 535,5 m

Відповідь

s = 535,5 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 5,203 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 45° − 0,25·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1768) = 5,203 m/s²

Відповідь

a = 5,203 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,609 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 9,32)/12,5 = 1,609 m/s²

Відповідь

a = 1,609 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 27,93 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·135/40² = 0,8277

Кут

2θ = 55,87° → θ = 27,93°

Відповідь

θ = 27,93°

Інший розв’язок 90° − θ = 62,07°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 3,708 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 45° = 14,14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 45° = 14,14 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 15 + 14,14·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14,14 + √(200 + 294,3))/9,81 = 3,708 s

Відповідь

t = 3,708 s

7.Робота й енергія

Відповідь: d = 56,18 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 100/3,6 = 27,78 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27,78²/(2·0,7·9,81) = 56,18 m

Відповідь

d = 56,18 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

8.Робота й енергія

Відповідь: x = 20,78 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 24,53·(5 − 0,15·4) = 107,9 J

Найбільше стиснення

½kx² = 107,9 → x = √(2·107,9/5000) = 0,2078 m = 20,78 cm

Відповідь

x = 20,78 cm

9.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 1041 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,22) = 2,078 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 4)·2,078/0,008 = 1041 m/s

Відповідь

v = 1041 m/s

10.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 22,27 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·13) = 12,37 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3600·12,37/2000 = 22,27 m/s

Відповідь

v₁ = 22,27 m/s

(80,16 km/h)

11.Гідростатична сила

Відповідь: F = 485,6 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,5·9 = 485,6 kN

Відповідь

F = 485,6 kN

12.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 3,889 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,75·7,5 = 242,8 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 3,906/(3,75·7,5) = 3,889 m

Відповідь

y_cp = 3,889 m

13.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: v = 4,899 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Рівняння Бернуллі до точки гальмування

Біля носика потік зупиняється, тож його кінетична енергія проявляється як додатковий тиск.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·12000/1000) = 4,899 m/s

Відповідь

v = 4,899 m/s

14.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 17,65 L/s

Різниця тисків за манометром

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,14 = 17305 Pa

Швидкість у горловині

Рівняння нерозривності й рівняння Бернуллі разом дають ідеальну швидкість у горловині.

β = 60/100 = 0,6

v₂ = √(2·17305/(1000·(1 − 0,1296))) = 6,306 m/s

Дійсна витрата

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,99·0,002827·6,306 = 0,01765 m³/s = 17,65 L/s

Відповідь

Q = 17,65 L/s

15.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 54,05 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 200/28,01 = 7,14 mol

T = 0 + 273,15 = 273,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 7,14·8,314·273,1/300 = 54,05 L

Відповідь

V = 54,05 L

16.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V₂ = 5,319 L

Об’єднаний газовий закон: для сталої кількості ідеального газу P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютні температури

T₁ = 303,1 K, T₂ = 403,1 K

Об’єднаний газовий закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(300/150)·(403,1/303,1) = 5,319 L

Відповідь

V₂ = 5,319 L

17.Теплові машини й холодильники

Відповідь: T_L = 35,1 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютна температура джерела

T_H = 725 + 273,15 = 998,1 K

Відношення теплот оборотного циклу

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 998,1·1050/3400 = 308,3 K = 35,1 °C

Відповідь

T_L = 35,1 °C

18.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ = 2,143 kW

Абсолютні температури

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

COP Карно і дійсний COP

COP_max = 295,1/(295,1 − 273,1) = 13,42

COP = 0,4·13,42 = 5,366

Споживана потужність

Ẇ = Q̇_H/COP = 11,5/5,366 = 2,143 kW

Відповідь

Ẇ = 2,143 kW

19.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β = 95,03 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Інтенсивність

I = P/(4πr²) = 0,003183 W/m²

Рівень

β = 10·log₁₀(0,003183/10⁻¹²) = 95,03 dB

Відповідь

β = 95,03 dB

20.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ_a = 33,21 °

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Критичний кут на оболонці

sin θc = 1,45/1,55 = 0,9355 → θc = 69,31°

Числова апертура

NA = √(1,55² − 1,45²) = 0,5477

Кут прийому

θ_a = arcsin(0,5477) = 33,21°

Відповідь

θ_a = 33,21°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers