Фізика для інженерів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 54 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5,5 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 54 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1 m/s² протягом 11 s, потім їде зі сталою швидкістю 17 s і нарешті гальмує з прискоренням 3 m/s² до зупинки. Знайдіть повний час руху t.

a₁ = 1 m/s²t₁ = 11 st₂ = 17 sa₃ = −3 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 9 m/s і зупиняється, пройшовши 41 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 9 m/sd = 41 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 10 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 10 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 60° над горизонталлю, і він падає на відстані 100 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 60°R = 100 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 50° до горизонту з вершини скелі висотою 50 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 14 m/sθ = 50°h = 50 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Робота й енергіяСередня

Кулька 0,5 kg висить на легкій нитці завдовжки 3 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 20° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.

m = 0,5 kgL = 3 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

T = N

8.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4,5 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 5000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 0,5 kgh = 3 mL = 4,5 mμ = 0,25k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 3,5 kg, що рухається зі швидкістю 2 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 1,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1200 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1100 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 21,5 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,5. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1200 kgm₂ = 1100 kgd = 21,5 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

11.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 75 mm до 40 mm. У широкій частині тиск 160 kPa, а швидкість 2 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 160 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.Нерозривність і БернулліСкладна

Шланг із внутрішнім діаметром 20 mm працює як сифон і відбирає воду з відкритого резервуара. Найвища точка шланга C на 1 m вище за поверхню води, а вихід (відкритий в атмосферу) на 1,5 m нижче за поверхню води. Нехтуйте втратами й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть абсолютний тиск p_C у точці C. Атмосферний тиск 101,3 kPa.

d = 20 mmz_C = +1 mz₂ = −1,5 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

15.Рівняння стану ідеального газуСередня

Який об’єм V займає 310 g газу (N₂) при 450 kPa і 75 °C? Вважайте газ ідеальним.

m = 310 gM = 28,01 g/molP = 450 kPaT = 75 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (N₂) при 700 kPa і 160 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 28,01 g/molP = 700 kPaT = 160 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Теплові машини й холодильникиСередня

Тепловий двигун отримує теплоту від джерела з температурою 450 °C і віддає теплоту довкіллю з температурою 10 °C. Його дійсний термічний ККД 40 %. Знайдіть його ексергетичний ККД (за другим законом) η_II — відношення дійсного ККД до ККД Карно.

T_H = 450 °CT_L = 10 °Cη = 40%

η_II = %

18.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос подає 8,5 kW теплоти в систему опалення з температурою 35 °C, відбираючи теплоту від джерела з температурою -10 °C. Його дійсний COP становить 45 % від COP Карно між цими температурами. Знайдіть електричну потужність Ẇ, яку він споживає.

T_H = 35 °CT_L = -10 °Cη_II = 45%Q̇_H = 8,5 kW

Ẇ = kW

19.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, відкрита з обох кінців: довжина 0,6 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₅ для моди «гармоніка номер 5».

v = 343 m/sn = 5L = 0,6 m

f₅ = Hz

20.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 405 нм падає під прямим кутом на ґратку з 1200 лініями на міліметр. Знайдіть кут θ₂ максимуму порядку 2.

N = 1200 mm⁻¹λ = 405 nmm = 2

θ₂ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 2,727 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 15/5,5 = 2,727 s

Відповідь

t = 2,727 s

2.Кінематика

Відповідь: t = 31,67 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 1·11 = 11 m/s

Час гальмування

t₃ = v/a₃ = 11/3 = 3,667 s

Загальний час

t = 11 + 17 + 3,667 = 31,67 s

Відповідь

t = 31,67 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,1007

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 9²/(2·41) = 0,9878 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0,9878/9,81 = 0,1007

Відповідь

μ = 0,1007

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 27,98 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 9,81)/13,5 = 1,817 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 10·1,817 + 9,81 = 27,98 N

Відповідь

T = 27,98 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 33,66 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·100/sin 120°) = 33,66 m/s

Відповідь

v₀ = 33,66 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 4,468 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 50° = 8,999 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 50° = 10,72 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 50 + 10,72·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10,72 + √(115 + 981))/9,81 = 4,468 s

Відповідь

t = 4,468 s

7.Робота й енергія

Відповідь: T = 5,497 N

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.

Швидкість унизу

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·3·(1 − cos 20°) = 3,55 m²/s²

Сили внизу

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

T = mg + mv²/L = 4,905 + 0,5·3,55/3 = 5,497 N

Відповідь

T = 5,497 N

Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 5,497 N.

8.Робота й енергія

Відповідь: v = 6,065 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 4,905·(3 − 0,25·4,5) = 9,197 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,875) = 6,065 m/s

Відповідь

v = 6,065 m/s

9.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 2,8 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (3,5 − 1,5)/(3,5 + 1,5)·2 = 0,8 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 1,5)·2 = 2,8 m/s

Відповідь

v′₂ = 2,8 m/s

10.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 27,84 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·21,5) = 14,52 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2300·14,52/1200 = 27,84 m/s

Відповідь

v₁ = 27,84 m/s

(100,2 km/h)

11.Гідростатична сила

Відповідь: F = 257,5 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·5 = 257,5 kN

Відповідь

F = 257,5 kN

12.Гідростатична сила

Відповідь: F = 43,26 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,5·1 = 43,26 kN

Відповідь

F = 43,26 kN

13.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 137,3 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/40)² = 7,031 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 7,031²)/1000 = −22,72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 160 + (−22,72) = 137,3 kPa

Відповідь

p₂ = 137,3 kPa

14.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p_C = 76,78 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Швидкість у шлангу

Поверхня і вихід відкриті в атмосферу, тож доданки тиску скорочуються.

v = √(2g·1,5) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s

Рівняння Бернуллі від поверхні до C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(5,425²/2 + 9,81·1)/1000 = 101,3 − 24,53 = 76,78 kPa

Відповідь

p_C = 76,78 kPa

Якщо цей тиск знизиться до тиску насиченої пари води, сифон перестане працювати.

15.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: V = 71,19 L

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = 310/28,01 = 11,07 mol

T = 75 + 273,15 = 348,1 K

Об’єм

V = nRT/P = 11,07·8,314·348,1/450 = 71,19 L

Відповідь

V = 71,19 L

16.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 5,445 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 160 + 273,15 = 433,1 K

Густина

ρ = 700·28,01/(8,314·433,1) = 5,445 kg/m³

Відповідь

ρ = 5,445 kg/m³

17.Теплові машини й холодильники

Відповідь: η_II = 65,74 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 450 + 273,15 = 723,1 K

T_L = 10 + 273,15 = 283,1 K

ККД Карно

η_Carnot = 1 − 283,1/723,1 = 60,84 %

ККД за другим законом

η_II = η/η_Carnot = 40/60,84 = 65,74 %

Відповідь

η_II = 65,74 %

18.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ = 2,758 kW

Абсолютні температури

T_H = 35 + 273,15 = 308,1 K

T_L = -10 + 273,15 = 263,1 K

COP Карно і дійсний COP

COP_max = 308,1/(308,1 − 263,1) = 6,848

COP = 0,45·6,848 = 3,081

Споживана потужність

Ẇ = Q̇_H/COP = 8,5/3,081 = 2,758 kW

Відповідь

Ẇ = 2,758 kW

19.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₅ = 1429 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,6/5 = 0,24 m

Частота

f = v/λ = 343/0,24 = 1429 Hz

Відповідь

f₅ = 1429 Hz

20.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₂ = 76,41 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/1200 mm = 8,333 × 10⁻⁷ m

Рівняння ґратки

sin θ = mλ/d = 2·405 × 10⁻⁹/(8,333 × 10⁻⁷) = 0,972

θ = 76,41°

Відповідь

θ₂ = 76,41°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers