Фізика для інженерів: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу: pV = nRT
Газова стала: R = 8,314 J/(mol·K)
Об’єднаний газовий закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Молі: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Теплові машини й холодильники

ККД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ККД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Енергетичний баланс: Q_H = W + Q_C

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Для зльоту літаку потрібна швидкість 300 km/h, а довжина злітної смуги 1200 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 300 km/hs = 1200 m

a = m/s²

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 26 m/s² протягом 2,5 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max, якої досягає ракета.

a = 26 m/s²t₁ = 2,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 10,5 m/s і зупиняється, пройшовши 37 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 10,5 m/sd = 37 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 2,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 3 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 70° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 26 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 40° до горизонту з вершини скелі висотою 40 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 19 m/sθ = 40°h = 40 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 110 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,7. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 110 km/hμ = 0,7g = 9,81 m/s²

d = m

8.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 10 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 15° і його тягнуть угору сталою силою 110 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 8 m угору схилом.

m = 10 kgF = 110 Nθ = 15°μ = 0,3d = 8 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 1 kg, що рухається зі швидкістю 8 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 3,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 1 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,55 kg ударяється об стіну зі швидкістю 28 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 15 m/s. Контакт триває 40 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,55 kgv_in = 28 m/sv_out = 15 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

11.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 2 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече через горизонтальний витратомір Вентурі з діаметром на вході 100 mm і діаметром горловини 60 mm. Тиск на вході на 48 kPa вищий, ніж у горловині. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q.

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmp₁ − p₂ = 48 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 75 mm до 50 mm і піднімається на 10 m. У перерізі 1 тиск 160 kPa, а швидкість 2,5 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 160 kPav₁ = 2,5 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.Рівняння стану ідеального газуСередня

Резервуар об’ємом 5 L містить 480 g газу (CH₄) при 80 °C. Вважайте газ ідеальним і знайдіть тиск P.

m = 480 gM = 16,04 g/molV = 5 LT = 80 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

16.Рівняння стану ідеального газуСкладна

Знайдіть густину ρ газу (N₂) при 800 kPa і 110 °C, вважаючи його ідеальним.

M = 28,01 g/molP = 800 kPaT = 110 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Теплові машини й холодильникиСередня

Тепловий двигун отримує теплоту від джерела з температурою 600 °C і віддає теплоту довкіллю з температурою 35 °C. Його дійсний термічний ККД 42 %. Знайдіть його ексергетичний ККД (за другим законом) η_II — відношення дійсного ККД до ККД Карно.

T_H = 600 °CT_L = 35 °Cη = 42%

η_II = %

18.Теплові машини й холодильникиСкладна

Тепловий насос підтримує в будинку 21 °C, коли надворі 0 °C, і подає в будинок 12 kW теплоти. Знайдіть мінімальну потрібну потужність Ẇ_min.

T_H = 21 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 12 kW

Ẇ_min = kW

19.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, відкрита з обох кінців: довжина 0,65 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₃ для моди «гармоніка номер 3».

v = 343 m/sn = 3L = 0,65 m

f₃ = Hz

20.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 550 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,1 мм. Знайдіть ширину w центрального світлого максимуму на екрані на відстані 2,5 м (між першими темними смугами з обох боків).

λ = 550 nma = 0,1 mmL = 2,5 m

w = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: a = 2,894 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v = 300/3,6 = 83,33 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 83,33²/(2·1200) = 2,894 m/s²

Відповідь

a = 2,894 m/s²

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 296,6 m

Активна ділянка

v₁ = 26·2,5 = 65 m/s

h₁ = ½·26·2,5² = 81,25 m

Вільний політ угору

У найвищій точці швидкість дорівнює нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 65²/(2·9,81) = 215,3 m

h_max = 81,25 + 215,3 = 296,6 m

Відповідь

h_max = 296,6 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,1519

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 10,5²/(2·37) = 1,49 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,49/9,81 = 0,1519

Відповідь

μ = 0,1519

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,905 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 2,453)/5,5 = 4,905 m/s²

Відповідь

a = 4,905 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 30,42 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 70° = 8,893 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 70° = 24,43 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 24,43²/(2·9,81) = 30,42 m

Відповідь

H = 30,42 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 63,46 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 40° = 14,55 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 40° = 12,21 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 40 + 12,21·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12,21 + √(149,2 + 784,8))/9,81 = 4,36 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 14,55·4,36 = 63,46 m

Відповідь

x = 63,46 m

7.Робота й енергія

Відповідь: d = 67,98 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 110/3,6 = 30,56 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30,56²/(2·0,7·9,81) = 67,98 m

Відповідь

d = 67,98 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

8.Робота й енергія

Відповідь: v = 9,481 m/s

Сили вздовж площини

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

mg·sin θ = 25,39 N

μ·mg·cos θ = 28,43 N

Теорема про роботу й енергію

½mv² = (110 − 53,82)·8 = 449,5 J

v = √(2·449,5/10) = 9,481 m/s

Відповідь

v = 9,481 m/s

9.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 3,556 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (1 − 3,5)/(1 + 3,5)·8 = −4,444 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 3,5)·8 = 3,556 m/s

Відповідь

v′₂ = 3,556 m/s

10.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 591,3 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,55·(15 + 28) = 23,65 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 23,65/0,04 = 591,3 N

Відповідь

F_avg = 591,3 N

11.Гідростатична сила

Відповідь: F = 312,7 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·7,5 = 312,7 kN

Відповідь

F = 312,7 kN

12.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 3,41 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,25·3,75 = 150,6 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,25 + 1,953/(3,25·3,75) = 3,41 m

Відповідь

y_cp = 3,41 m

13.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 29,69 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Нерозривність

v₁ = v₂·(60/100)² = 0,36·v₂

Рівняння Бернуллі між входом і горловиною

Труба горизонтальна, тож змінюються лише тиск і швидкість.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·48000/(1000·(1 − 0,1296))) = 10,5 m/s

v₁ = 3,781 m/s

Витрата

Q = A₂·v₂ = 0,002827·10,5 = 0,02969 m³/s = 29,69 L/s

Відповідь

Q = 29,69 L/s

14.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 49,2 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,5·(75/50)² = 5,625 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,5² − 5,625²)/1000 = −12,7 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 160 + (−12,7) − 98,1 = 49,2 kPa

Відповідь

p₂ = 49,2 kPa

15.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: P = 17573 kPa

Рівняння стану ідеального газу: PV = nRT, де n = m/M.

Молі

n = m/M = 480/16,04 = 29,93 mol

T = 80 + 273,15 = 353,1 K

Тиск

P = nRT/V = 29,93·8,314·353,1/0,005 = 17573 kPa

Відповідь

P = 17573 kPa

16.Рівняння стану ідеального газу

Відповідь: ρ = 7,034 kg/m³

Густина ідеального газу: ρ = PM/(RT).

Перетворіть газовий закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 110 + 273,15 = 383,1 K

Густина

ρ = 800·28,01/(8,314·383,1) = 7,034 kg/m³

Відповідь

ρ = 7,034 kg/m³

17.Теплові машини й холодильники

Відповідь: η_II = 64,91 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 600 + 273,15 = 873,1 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

ККД Карно

η_Carnot = 1 − 308,1/873,1 = 64,71 %

ККД за другим законом

η_II = η/η_Carnot = 42/64,71 = 64,91 %

Відповідь

η_II = 64,91 %

18.Теплові машини й холодильники

Відповідь: Ẇ_min = 0,8567 kW

Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами T_H і T_L не може перевершити оборотний цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) і COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Енергія завжди зберігається: Q_H = W + Q_L.

Абсолютні температури

T_H = 21 + 273,15 = 294,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

Найкращий можливий COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294,1/(294,1 − 273,1) = 14,01

Мінімальна потужність

Найменше роботи потребує оборотна машина, що має найбільший COP.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 12/14,01 = 0,8567 kW

Відповідь

Ẇ_min = 0,8567 kW

19.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₃ = 791,5 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,65/3 = 0,4333 m

Частота

f = v/λ = 343/0,4333 = 791,5 Hz

Відповідь

f₃ = 791,5 Hz

20.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: w = 27,5 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Перша темна смуга

y₁ = λL/a = 550 × 10⁻⁹·2,5/(0,1 × 10⁻³) = 13,75 mm

Ширина центрального максимуму

w = 2y₁ = 27,5 mm

Відповідь

w = 27,5 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers