Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Упередженість експериментатора найбезпосередніше зменшує:

AВикористання більшої вибірки
BЗалучення до збирання даних дослідника, який не знає гіпотези чи умов
CЗалучення лише добровольців
DВикористання односторонньої гіпотези

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Збільшення обсягу вибірки в дослідженні найбезпосередніше:

AПідвищує статистичну потужність для виявлення справжнього ефекту
BУсуває будь-яке зміщення вибірки
CГарантує статистично значущий результат, якщо будь-який ефект існує
DЗбільшує розмір ефекту

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 30, 40, 38, 17, 47, 50, 43.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень менша за 64,8?

μ = 60σ = 12x = 64,8

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,35, 0,25, 0,1

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

Тестують 9 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,3. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 9p = 0,3

P =

7.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 98,6 s. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 98,6 s

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 75 % значень (75-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 75%

x = cm

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 9 елементів має середнє 35 і стандартне відхилення s = 16. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 9x̄ = 35s = 1695%t(8) = 2,306

верхня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 22 ділянок, середній урожай 88 kg, стандартне відхилення 5,5 kg. Група ділянок 2: 9 ділянок, середнє 92,5 kg, стандартне відхилення 6 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 22x̄₁ = 88s₁ = 5,5n₂ = 9x̄₂ = 92,5s₂ = 699%t(29) = 2,756

нижня межа = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 64 студентів має середній бал 121,7 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121,7s = 8n = 64

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1? Стандартне відхилення — 10. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 10E = 190%

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 42Σy = 80Σx² = 364Σy² = 1370Σxy = 702

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 89?

n = 6ŷ = 89

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1002 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 2 рядками й 3 стовпцями (без урахування підсумків). За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Залучення до збирання даних дослідника, який не знає гіпотези чи умов

Чому це відповідь

Експериментатори, які знають гіпотезу, можуть ненавмисно впливати на учасників чи записи. Одинарні чи подвійні сліпі процедури та стандартизовані інструкції це зменшують.

Відповідь

B · Залучення до збирання даних дослідника, який не знає гіпотези чи умов

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Підвищує статистичну потужність для виявлення справжнього ефекту

Чому це відповідь

Більші вибірки зменшують стандартну похибку й підвищують потужність. Вони не змінюють справжнього розміру ефекту й не усувають систематичного зміщення.

Відповідь

A · Підвищує статистичну потужність для виявлення справжнього ефекту

3.Описова статистика

Відповідь: s = 11,25

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 265/7 = 37,86

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−7,857)² + 2,143² + 0,1429² + (−20,86)² + 9,143² + 12,14² + 5,143² = 758,9

Стандартне відхилення

s = √(758,9/6) = 11,25

Відповідь

s = 11,25

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,6554

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Відповідь

P = 0,6554

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 0,9275

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,1 = 1,15

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,1 = 2,25

Дисперсія

Var(X) = 2,25 − 1,15² = 0,9275

Відповідь

Var(X) = 0,9275

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,196

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,7⁹ = 0,04035

P(X = 1) = 9·0,3·0,7⁸ = 0,1556

Додайте

P = 0,04035 + 0,1556 = 0,196

Відповідь

P = 0,196

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (98,6 − 105)/6,403 = −1

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 182,7 cm

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Назад до x

x = 178 + 0,6745·7 = 182,72 cm

Відповідь

x = 182,72 cm

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 47,3

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Похибка оцінки

E = 2,306·16/√9 = 12,3

Інтервал

35 ± 12,3 → [22,7, 47,3]

Відповідь

верхня межа = 47,3

10.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −10,65 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (21·5,5² + 8·6²)/29 = 31,84

s_p = 5,642

Похибка оцінки

E = 2,756·5,642·√(1/22 + 1/9) = 6,153

Інтервал

−4,5 ± 6,153 → [−10,65, 1,653]

Відповідь

нижня межа = −10,65 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,7

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

Статистика критерію

t = (121,7 − 120)/1 = 1,7

Відповідь

t = 1,7

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 271

Виразіть n

n = (1,645·10/1)² = 270,6

Округліть угору

n = 271

Відповідь

n = 271

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9745

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 702 − 42·80/6 = 142

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 1370 − 80²/6 = 303,3

Коефіцієнт кореляції

r = 142/√(70·303,3) = 0,9745

Відповідь

r = 0,9745

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 19,04

Середні

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 592/6 = 98,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 346

Лінія регресії

b = 346/70 = 4,943

a = 98,67 − 4,943·21 = −5,133

ŷ = −5,133 + 4,943·x

Розв’яжіть щодо x

x = (89 − (−5,133))/4,943 = 19,04

Відповідь

x = 19,04

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 4,34

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

новий препарат: 40·60/100 = 24, 40·40/100 = 16

плацебо: 60·60/100 = 36, 60·40/100 = 24

Статистика хі-квадрат

χ² = (19 − 24)²/24 + (21 − 16)²/16 + (41 − 36)²/36 + (19 − 24)²/24

χ² = 4,34

Відповідь

χ² = 4,34

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 9,21

Ступені вільності

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

Таблиця

χ²_crit(df = 2, α = 0,01) = 9,210

Відповідь

χ²_crit = 9,210

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology