Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Чому категорії поведінки в спостереженні операціоналізують до збирання даних?

AЩоб спостерігачі послідовно фіксували ту саму поведінку, що підвищує надійність
BЩоб учасники точно знали, що фіксують
CЩоб гіпотезу можна було змінити, побачивши дані
DЩоб спостереження стало експериментом

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідження виявило, що студенти, які більше сплять, мають вищі оцінки. Яка зміна дизайну найкраще дозволила б зробити причинний висновок?

AПопросити студентів двічі повідомити про сон і усереднити два звіти
BТочніше вимірювати оцінки
CОпитати більше студентів
DВипадково розподілити студентів за різними режимами сну

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 32, 39, 19, 56, 43.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 85?

μ = 100σ = 15x = 85

P =

5.ІмовірністьСередня

У мішечку 5 червоних і 7 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

5 / 7

P =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €5 з імовірністю 0,1 і €10 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €1€5: p = 0,1€10: p = 0,01

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 176,25 і 186,75 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 176,25x₂ = 186,75

P =

8.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 90% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g90%

x = g

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 8 елементів має середнє 116,5 і стандартне відхилення s = 16. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 8x̄ = 116,5s = 1699%t(7) = 3,499

нижня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 15. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?

σ = 15E = 1,595%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 80 деталей має середню довжину 66,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 17 mm. Лінія 2: вибірка з 80 деталей має середнє 68,7 mm, відоме стандартне відхилення 5 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 80x̄₁ = 66,5 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 80x̄₂ = 68,7 mmσ₂ = 5 mm

z =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 3 одиниць із потужністю 90 %. Стандартне відхилення 19. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 90%δ = 3σ = 19z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 15Σy = 221Σx² = 55Σy² = 9867Σxy = 691

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (23,5, 104). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(23,5, 104)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2402 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 1603 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Щоб спостерігачі послідовно фіксували ту саму поведінку, що підвищує надійність

Чому це відповідь

Чіткі, спостережувані категорії (наприклад, «б'є розкритою долонею») зменшують суб'єктивність суджень і підвищують надійність між спостерігачами.

Відповідь

A · Щоб спостерігачі послідовно фіксували ту саму поведінку, що підвищує надійність

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Випадково розподілити студентів за різними режимами сну

Чому це відповідь

Лише маніпуляція сном із випадковим розподілом контролює треті змінні й дозволяє причинний висновок у межах етики.

Відповідь

D · Випадково розподілити студентів за різними режимами сну

3.Описова статистика

Відповідь: s = 13,66

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 189/5 = 37,8

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−5,8)² + 1,2² + (−18,8)² + 18,2² + 5,2² = 746,8

Стандартне відхилення

s = √(746,8/4) = 13,66

Відповідь

s = 13,66

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8413

Стандартизуйте

z = −1

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,1515

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 5/12 · 4/11 = 20/132 = 0,1515

Відповідь

P = 0,1515

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = −0,4 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 4 (p = 0,1), 9 (p = 0,01), −1 (p = 0,89)

Математичне сподівання

E(G) = 4·0,1 + 9·0,01 − 1·0,89 = −0,4 €

Відповідь

E(G) = −0,4 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,4931

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (176,25 − 178)/7 = −0,25

z₂ = (186,75 − 178)/7 = 1,25

Площа між

P = Φ(1,25) − Φ(−0,25) = 0,8944 − 0,4013 = 0,4931

Відповідь

P = 0,4931

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 243,6 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,1

z з таблиці

z ≈ −1,28

Назад до початкових одиниць

x = 250 − 1,28·5 = 243,6 g

Відповідь

x = 243,6 g

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 96,71

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 7, t = 3,499

Похибка оцінки

E = 3,499·16/√8 = 19,79

Інтервал

116,5 ± 19,79 → [96,71, 136,3]

Відповідь

нижня межа = 96,71

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 385

Виразіть n

n = (1,96·15/1,5)² = 384,2

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 385

Відповідь

n = 385

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −1,11

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(17²/80 + 5²/80) = √3,925 = 1,981

Статистика критерію

z = (66,5 − 68,7)/1,981 = −1,11

Відповідь

z = −1,11

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 344

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 1,282)·19/3)² = 343,6

Округліть угору

n = 344

Відповідь

n = 344

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,8908

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 691 − 15·221/5 = 28

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 9867 − 221²/5 = 98,8

Коефіцієнт кореляції

r = 28/√(10·98,8) = 0,8908

Відповідь

r = 0,8908

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 2,4

Середні

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 464/5 = 92,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 528

Лінія регресії

b = 528/90 = 5,867

a = 92,8 − 5,867·22 = −36,27

ŷ = −36,27 + 5,867·x

Прогнозоване значення

ŷ = −36,27 + 5,867·23,5 = 101,6

Залишок

e = 104 − 101,6 = 2,4

Відповідь

e = 2,4

Точка лежить вище прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 5,934

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

курці: 120·156/240 = 78, 120·84/240 = 42

некурці: 120·156/240 = 78, 120·84/240 = 42

Статистика хі-квадрат

χ² = (87 − 78)²/78 + (33 − 42)²/42 + (69 − 78)²/78 + (51 − 42)²/42

χ² = 5,934

Відповідь

χ² = 5,934

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 4,444

Очікувані частоти

завод A: 24, 16

завод B: 36, 24

завод C: 36, 24

Статистика хі-квадрат

χ² = (28 − 24)²/24 + (12 − 16)²/16 + (38 − 36)²/36 + (22 − 24)²/24 + (30 − 36)²/36 + (30 − 24)²/24

χ² = 4,444

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

4,444 < 5,991

Відповідь

χ² = 4,444

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology