Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Дослідженню, проведеному лише з американськими студентами бакалаврату, може бракувати:

AНадійності між оцінювачами
BВнутрішньої узгодженості
CПопуляційної валідності
DЗмістової валідності

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Яка головна мета випадкового розподілу за умовами в експерименті?

AРівномірно розподілити індивідуальні змінні, щоб вони не спотворювали результатів
BГарантувати, що учасники не знають мети
CПідвищити рівень відгуку
DЗробити вибірку репрезентативною для цільової популяції, щоб результати можна було узагальнити

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 49, 52, 49, 40, 23.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 154.

μ = 170σ = 8x = 154

z =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,2, 0,2, 0,25

σ =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €15 з імовірністю 0,2 і €30 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €3€15: p = 0,2€30: p = 0,02

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 32 і 33,5 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x₁ = 32x₂ = 33,5

P =

8.Нормальний розподілСкладна

строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 85% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 500 hσ = 40 h85%

x = h

9.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 8 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 7,8 і стандартне відхилення 7,8. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 8d̄ = 7,8s_d = 7,899%t(7) = 3,499

E = mmHg

10.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,8 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 90 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,01?

p ≈ 0,8E = 0,0190%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 64 студентів має середній бал 97,75 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,75s = 10n = 64

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 49 вимірювань має середнє 497,1. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 497,1σ = 8n = 4990%

U =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (5, 8). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(5, 8)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1202 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2203 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Популяційної валідності

Чому це відповідь

Популяційна валідність — вид зовнішньої валідності. Вибірки переважно з молодих, західних і освічених людей можуть не репрезентувати інших.

Відповідь

C · Популяційної валідності

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Рівномірно розподілити індивідуальні змінні, щоб вони не спотворювали результатів

Чому це відповідь

Випадковий розподіл урівноважує індивідуальні відмінності між умовами й підтримує причинні висновки. Випадкова вибірка стосується узагальнення на популяцію.

Відповідь

A · Рівномірно розподілити індивідуальні змінні, щоб вони не спотворювали результатів

3.Описова статистика

Відповідь: s = 11,84

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 213/5 = 42,6

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 6,4² + 9,4² + 6,4² + (−2,6)² + (−19,6)² = 561,2

Стандартне відхилення

s = √(561,2/4) = 11,84

Відповідь

s = 11,84

4.Описова статистика

Відповідь: z = −2

Стандартизуйте

z = (154 − 170)/8 = −2

Відповідь

z = −2

5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,195

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,35 + 2·0,2 + 3·0,2 + 4·0,25 = 2,35

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,2 + 9·0,2 + 16·0,25 = 6,95

Дисперсія

Var(X) = 6,95 − 2,35² = 1,427

σ = √1,427 = 1,195

Відповідь

σ = 1,195

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 0,6 €

Чисті результати

G: 12 (p = 0,2), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,78)

Математичне сподівання

E(G) = 12·0,2 + 27·0,02 − 3·0,78 = 0,6 €

Відповідь

E(G) = 0,6 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,09871

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (32 − 32)/6 = 0

z₂ = (33,5 − 32)/6 = 0,25

Площа між

P = Φ(0,25) − Φ(0) = 0,5987 − 0,5 = 0,09871

Відповідь

P = 0,09871

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 458 h

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,15

z з таблиці

z ≈ −1,04

Назад до початкових одиниць

x = 500 − 1,04·40 = 458 h

Відповідь

x = 458 h

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 9,649 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 7, t = 3,499

Похибка оцінки

E = 3,499·7,8/√8 = 9,649

Відповідь

E = 9,649 mmHg

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 4330

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,645²·0,8·0,2/0,01² = 4330

Округліть угору

n = 4330

Відповідь

n = 4330

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,8

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25

Статистика критерію

t = (97,75 − 100)/1,25 = −1,8

Відповідь

t = −1,8

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 499

Похибка оцінки

E = 1,645·8/√49 = 1,88

Межа інтервалу

U = 497,1 + 1,88 = 499

Відповідь

U = 499

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9866

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 265/6 = 44,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 101,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 604,8

Коефіцієнт кореляції

r = 101,5/√(17,5·604,8) = 0,9866

Відповідь

r = 0,9866

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −1,638

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 76/6 = 12,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

Лінія регресії

b = 106/70 = 1,514

a = 12,67 − 1,514·7 = 2,067

ŷ = 2,067 + 1,514·x

Прогнозоване значення

ŷ = 2,067 + 1,514·5 = 9,638

Залишок

e = 8 − 9,638 = −1,638

Відповідь

e = −1,638

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 4,464

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

новий препарат: 40·84/120 = 28, 40·36/120 = 12

плацебо: 80·84/120 = 56, 80·36/120 = 24

Статистика хі-квадрат

χ² = (23 − 28)²/28 + (17 − 12)²/12 + (61 − 56)²/56 + (19 − 24)²/24

χ² = 4,464

Відповідь

χ² = 4,464

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 19,38

Очікувані частоти

вік 18–30: 32, 48

вік 31–50: 40, 60

вік 51+: 16, 24

Статистика хі-квадрат

χ² = (34 − 32)²/32 + (46 − 48)²/48 + (50 − 40)²/40 + (50 − 60)²/60 + (4 − 16)²/16 + (36 − 24)²/24

χ² = 19,38

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

19,38 > 9,210

Відповідь

χ² = 19,38

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology