Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Який дизайн використовує різних учасників у кожній умові?

AВнутрішньосуб'єктний дизайн
BДизайн зіставлених пар із тими самими людьми
CДизайн незалежних груп
DДизайн із повторними вимірюваннями

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник вимірює вплив шуму на концентрацію. Учасників в умові шуму випадково тестували вранці, а в умові тиші — вдень. У чому проблема?

AЧас доби — змішувальна змінна
BДані номінального рівня
CДослідження має забагато умов
DЧас доби — залежна змінна

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 54, 24, 46, 13, 16, 60.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 76?

μ = 70σ = 15x = 76

P =

5.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 2 осіб із групи з 10 осіб? Порядок не має значення.

n = 10k = 2

N =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €25 з імовірністю 0,2 і €100 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €5€25: p = 0,2€100: p = 0,02

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 5 з них перевищує 125,6 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 5> 125,6 kg

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Маса виробу з лінії 1 (X) і з лінії 2 (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 500 g і середнє квадратичне відхилення 8 g, Y має середнє 490 g і середнє квадратичне відхилення 6 g. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 9 елементів має середнє 63 і стандартне відхилення s = 16,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 9x̄ = 63s = 16,590%t(8) = 1,86

верхня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 38. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?

σ = 38E = 395%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 250; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 10. Випадкова вибірка з 100 спостережень має середнє 251,7. Перевірте H₀: μ = 250 проти H₁: μ > 250. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 250σ = 10n = 100x̄ = 251,7H₁: μ > μ₀

p =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 200 проти H₁: μ > 200 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 36; стандартне відхилення відоме й дорівнює 9. Насправді середнє дорівнює 203. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 200μ = 203σ = 9n = 36α = 0,01

1 − β = %

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 1,5.

n = 6x = 1,5

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2002 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 3 рядками й 5 стовпцями (без урахування підсумків). За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Дизайн незалежних груп

Чому це відповідь

У дизайні незалежних груп кожна умова має інших учасників; це уникає ефектів порядку, але несе ризик впливу індивідуальних змінних.

Відповідь

C · Дизайн незалежних груп

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Час доби — змішувальна змінна

Чому це відповідь

Оскільки шум і час тестування змінюються разом, будь-яка відмінність може бути зумовлена будь-яким із них. Випадковий розподіл часу тестування чи фіксація часу усунули б змішування.

Відповідь

A · Час доби — змішувальна змінна

3.Описова статистика

Відповідь: s = 20,35

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 213/6 = 35,5

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 18,5² + (−11,5)² + 10,5² + (−22,5)² + (−19,5)² + 24,5² = 2072

Стандартне відхилення

s = √(2072/5) = 20,35

Відповідь

s = 20,35

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,3446

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Відповідь

P = 0,3446

5.Імовірність

Відповідь: N = 45

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45

Відповідь

N = 45

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 2 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 20 (p = 0,2), 95 (p = 0,02), −5 (p = 0,78)

Математичне сподівання

E(G) = 20·0,2 + 95·0,02 − 5·0,78 = 2 €

Відповідь

E(G) = 2 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,2946

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 125 kg, σ_T = 0,5·√5 = 1,118 kg

Стандартизуйте

z = (125,6 − 125)/1,118 = 0,54

Імовірність

P = 1 − Φ(0,54) = 0,2946

Відповідь

P = 0,2946

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Розподіл різниці

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Імовірність

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 73,23

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Похибка оцінки

E = 1,86·16,5/√9 = 10,23

Інтервал

63 ± 10,23 → [52,77, 73,23]

Відповідь

верхня межа = 73,23

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 617

Виразіть n

n = (1,96·38/3)² = 616,4

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 617

Відповідь

n = 617

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,04457

Перевірка гіпотези: статистика критерію = (оцінка − значення за H₀)/(стандартна похибка за H₀). p-значення — це ймовірність (якщо H₀ правильна) отримати статистику, щонайменше таку ж екстремальну, як спостережена: площа в одному хвості для односторонньої H₁ і подвоєна площа хвоста для двосторонньої H₁. Відхиляйте H₀, коли p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 10/√100 = 1

z = (251,7 − 250)/1 = 1,7

Площа хвоста

Φ(1,7) = 0,9554

1 − Φ(1,7) = 0,0446

p-значення

p = 0,04457

Відповідь

p = 0,04457

p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 37,22 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 9/√36 = 1,5

x̄_c = 200 + 2,326·1,5 = 203,5

z при справжньому середньому

z = (203,5 − 203)/1,5 = 0,326

Потужність

потужність = P(Z > 0,326) = 37,22%

1 − β = 37,22%

Відповідь

1 − β = 37,22%

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9759

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 381/6 = 63,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 279

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1140

Коефіцієнт детермінації

r² = 279²/(70·1140) = 0,9759

Відповідь

r² = 0,9759

Близько 97,59% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 26,72

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 149/6 = 24,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16,5

Лінія регресії

b = −16,5/17,5 = −0,9429

a = 24,83 − (−0,9429)·3,5 = 28,13

ŷ = 28,13 − 0,9429·x

Прогноз

ŷ = 28,13 + (−0,9429)·1,5 = 26,72

Відповідь

ŷ = 26,72

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 26,47

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

новий препарат: 120·130/200 = 78, 120·70/200 = 42

плацебо: 80·130/200 = 52, 80·70/200 = 28

Статистика хі-квадрат

χ² = (61 − 78)²/78 + (59 − 42)²/42 + (69 − 52)²/52 + (11 − 28)²/28

χ² = 26,47

Відповідь

χ² = 26,47

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 20,09

Ступені вільності

df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8

Таблиця

χ²_crit(df = 8, α = 0,01) = 20,090

Відповідь

χ²_crit = 20,090

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology