Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Щоб отримати вибірку з такими самими частками студентів першого, другого й третього курсів, як у популяції університету, дослідник має використати:

AСтратифіковану вибірку
BДоступну вибірку
CВибірку «сніжної кулі»
DВибірку добровольців

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Інтерпретаційний феноменологічний аналіз (IPA) переважно має на меті:

AПеревіряти причинні гіпотези на великих вибірках
BДослідити, як люди осмислюють власний життєвий досвід
CПідраховувати частоту слів у текстах
DТочно вимірювати час реакції

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 43, 51, 13, 60, 50, 26, 58.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 173,2.

μ = 170σ = 8x = 173,2

z =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,25, 0,2, 0,05, 0,3

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

Тест має 10 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,25, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?

n = 10p = 0,25k = 2

P =

7.Нормальний розподілСередня

Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 4 з них менша за 45,6 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 4< 45.6 kg

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Час кола бігуна A (X) і час кола бігуна B (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 52 s і середнє квадратичне відхилення 4 s, Y має середнє 48 s і середнє квадратичне відхилення 3 s. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 10 елементів має середнє 52 і стандартне відхилення s = 2. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 10x̄ = 52s = 299%t(9) = 3,25

нижня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 15. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?

σ = 15E = 1,599%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 100; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 15. Випадкова вибірка з 25 спостережень має середнє 93,82. Перевірте H₀: μ = 100 проти H₁: μ ≠ 100. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 100σ = 15n = 25x̄ = 93,82H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 1 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 8. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,01потужність = 80%δ = 1σ = 8z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 4.

n = 6x = 4

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «денна зміна, значний».

сума рядка = 86сума стовпця = 31N = 135

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 5 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Стратифіковану вибірку

Чому це відповідь

Стратифікована вибірка визначає підгрупи (страти) й випадково обирає учасників із кожної пропорційно її розміру в популяції, що робить вибірку репрезентативнішою.

Відповідь

A · Стратифіковану вибірку

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Дослідити, як люди осмислюють власний життєвий досвід

Чому це відповідь

IPA поглиблено вивчає невеликі однорідні вибірки, з'ясовуючи, як учасники тлумачать значущий досвід, а дослідник інтерпретує їхнє осмислення.

Відповідь

B · Дослідити, як люди осмислюють власний життєвий досвід

3.Описова статистика

Відповідь: s = 17,4

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 301/7 = 43

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 0² + 8² + (−30)² + 17² + 7² + (−17)² + 15² = 1816

Стандартне відхилення

s = √(1816/6) = 17,4

Відповідь

s = 17,4

4.Описова статистика

Відповідь: z = 0,4

Стандартизуйте

z = (173,2 − 170)/8 = 0,4

Відповідь

z = 0,4

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 2,3

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,2 + 2·0,25 + 3·0,2 + 4·0,05 + 5·0,3 = 3

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,25 + 9·0,2 + 16·0,05 + 25·0,3 = 11,3

Дисперсія

Var(X) = 11,3 − 3² = 2,3

Відповідь

Var(X) = 2,3

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,2816

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 2) = 45·0,25²·0,75⁸ = 45·0,0625·0,1001 = 0,2816

Відповідь

P = 0,2816

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,06681

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 48 kg, σ_T = 0,8·√4 = 1,6 kg

Стандартизуйте

z = (45,6 − 48)/1,6 = −1,5

Імовірність

P = Φ(−1,5) = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7881

Розподіл різниці

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Відповідь

P = 0,7881

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 49,94

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Похибка оцінки

E = 3,25·2/√10 = 2,055

Інтервал

52 ± 2,055 → [49,94, 54,06]

Відповідь

нижня межа = 49,94

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 664

Виразіть n

n = (2,576·15/1,5)² = 663,6

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 664

Відповідь

n = 664

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,0394

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 15/√25 = 3

z = (93,82 − 100)/3 = −2,06

Площа хвоста

Φ(2,06) = 0,9803

1 − Φ(2,06) = 0,0197

p-значення

p = 2·0,0197 = 0,0394

Відповідь

p = 0,0394

p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 643

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((2,326 + 0,842)·8/1)² = 642,3

Округліть угору

n = 643

Відповідь

n = 643

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9692

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 381/6 = 63,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 301

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1336

Коефіцієнт детермінації

r² = 301²/(70·1336) = 0,9692

Відповідь

r² = 0,9692

Близько 96,92% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 54,76

Середні

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 428/6 = 71,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 290

Лінія регресії

b = 290/70 = 4,143

a = 71,33 − 4,143·8 = 38,19

ŷ = 38,19 + 4,143·x

Прогноз

ŷ = 38,19 + 4,143·4 = 54,76

Відповідь

ŷ = 54,76

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 19,75

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 86·31/135 = 19,75

Відповідь

E = 19,75

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 7,815

Ступені вільності

df = 5 − 1 − 1 = 3

Таблиця

χ²_crit(df = 3, α = 0,05) = 7,815

Відповідь

χ²_crit = 7,815

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology