Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Приблизно який відсоток балів у нормальному розподілі лежить у межах одного стандартного відхилення від середнього?

A50%
B95%
C99,7%
D68%

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

У дослідженнях слухняності Мілґрема учасники вважали, що завдають справжніх ударів струмом. Яку етичну проблему це порушує найбезпосередніше і як її частково розв'язали?

AОбман і можливий дистрес, розв'язані ретельним дебрифінгом
BВідсутність контрольної групи, розв'язана випадковим розподілом учасників за умовами
CБрак конфіденційності, розв'язаний публікацією імен
DЗалучення дітей, розв'язане згодою батьків

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 29, 30, 48, 10, 28, 23.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 50. Знайдіть z-оцінку z для результату 400.

μ = 500σ = 50x = 400

z =

5.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 12 осіб? Порядок не має значення.

n = 12k = 3

N =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €10 з імовірністю 0,2 і €250 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €5€10: p = 0,2€250: p = 0,05

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 9 з них перевищує 222,8 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 9> 222,8 kg

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 10 % значень (10-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 10%

x = h

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 21 елементів має середнє 109,5 і стандартне відхилення s = 15,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 21x̄ = 109,5s = 15,599%t(20) = 2,845

нижня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 37. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?

σ = 37E = 399%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 498,8 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,8s = 4n = 100

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 80 проти H₁: μ < 80 виконують на рівні α = 0.01 за вибіркою обсягом 36; стандартне відхилення відоме й дорівнює 6. Насправді середнє дорівнює 78.4. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 80μ = 78,4σ = 6n = 36α = 0,01

1 − β = %

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 3,5.

n = 6x = 3,5

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1602 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 6 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 6

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · 68%

Чому це відповідь

Близько 68% балів лежать у межах ±1 SD, близько 95% — у межах ±2 SD і близько 99,7% — у межах ±3 SD.

Відповідь

D · 68%

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Обман і можливий дистрес, розв'язані ретельним дебрифінгом

Чому це відповідь

Учасників обманули щодо ударів струмом, і багато з них відчували сильний стрес. Мілґрем провів дебрифінг і влаштував зустріч з «учнем»; подальше опитування показало, що більшість раді були взяти участь, але етичні питання досі обговорюють.

Відповідь

A · Обман і можливий дистрес, розв'язані ретельним дебрифінгом

3.Описова статистика

Відповідь: s = 12,28

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 168/6 = 28

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 1² + 2² + 20² + (−18)² + 0² + (−5)² = 754

Стандартне відхилення

s = √(754/5) = 12,28

Відповідь

s = 12,28

4.Описова статистика

Відповідь: z = −2

Стандартизуйте

z = (400 − 500)/50 = −2

Відповідь

z = −2

5.Імовірність

Відповідь: N = 220

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(12, 3) = (12·11·10)/(3·2·1) = 220

Відповідь

N = 220

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 9,5 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 5 (p = 0,2), 245 (p = 0,05), −5 (p = 0,75)

Математичне сподівання

E(G) = 5·0,2 + 245·0,05 − 5·0,75 = 9,5 €

Відповідь

E(G) = 9,5 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9292

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 225 kg, σ_T = 0,5·√9 = 1,5 kg

Стандартизуйте

z = (222,8 − 225)/1,5 = −1,47

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,47) = 0,9292

Відповідь

P = 0,9292

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 448,7 h

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Назад до x

x = 500 + −1,282·40 = 448,74 h

Відповідь

x = 448,74 h

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 99,88

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Похибка оцінки

E = 2,845·15,5/√21 = 9,623

Інтервал

109,5 ± 9,623 → [99,88, 119,1]

Відповідь

нижня межа = 99,88

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 1010

Виразіть n

n = (2,576·37/3)² = 1009

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 1010

Відповідь

n = 1010

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −3

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Статистика критерію

t = (498,8 − 500)/0,4 = −3

Відповідь

t = −3

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 23,39 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 6/√36 = 1

x̄_c = 80 − 2,326·1 = 77,67

z при справжньому середньому

z = (77,67 − 78,4)/1 = −0,726

Потужність

потужність = P(Z < −0.726) = 23.39%

1 − β = 23,39%

Відповідь

1 − β = 23,39%

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,8452

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 350/5 = 70

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 398

Коефіцієнт детермінації

r² = 58²/(10·398) = 0,8452

Відповідь

r² = 0,8452

Близько 84,52% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 65,68

Середні

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 433/6 = 72,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 113,5

Лінія регресії

b = 113,5/17,5 = 6,486

a = 72,17 − 6,486·4,5 = 42,98

ŷ = 42,98 + 6,486·x

Прогноз

ŷ = 42,98 + 6,486·3,5 = 65,68

Відповідь

ŷ = 65,68

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 15,52

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

новий препарат: 60·88/160 = 33, 60·72/160 = 27

плацебо: 100·88/160 = 55, 100·72/160 = 45

Статистика хі-квадрат

χ² = (21 − 33)²/33 + (39 − 27)²/27 + (67 − 55)²/55 + (33 − 45)²/45

χ² = 15,52

Відповідь

χ² = 15,52

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 5

Ступені вільності

df = 6 − 1 = 5

Відповідь

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology