Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Який тест підходить для порівняння середніх двох незалежних груп з інтервальними даними, розподіленими приблизно нормально?

AКореляція Пірсона
Bt-тест для незалежних вибірок
CТест хі-квадрат
DЗнаково-ранговий тест Вілкоксона

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Інтерпретаційний феноменологічний аналіз (IPA) переважно має на меті:

AПеревіряти причинні гіпотези на великих вибірках
BДослідити, як люди осмислюють власний життєвий досвід
CТочно вимірювати час реакції
DПідраховувати частоту слів у текстах

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 53, 28, 49, 25, 25.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 80?

μ = 50σ = 15x = 80

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,25, 0,05, 0,05, 0,35

σ =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 2X − 3. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,35, 0,05, 0,25Y = 2X − 3

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 113 s. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 113 s

P =

8.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 20% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

9.Довірчі інтервалиСередня

95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 50 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 2,9. Якою буде гранична похибка E₂ 90 % інтервалу за тими самими даними?

95%n₁ = 50E₁ = 2,990%

E₂ =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 5 ділянок, середній урожай 59,5 kg, стандартне відхилення 7,5 kg. Група ділянок 2: 21 ділянок, середнє 68 kg, стандартне відхилення 4,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 59,5s₁ = 7,5n₂ = 21x̄₂ = 68s₂ = 4,595%t(24) = 2,064

верхня межа = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 36 студентів має середній бал 47,42 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 47,42s = 5n = 36

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 36 вимірювань має середнє 496,1. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 496,1σ = 8n = 3695%

L =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 2.

n = 6x = 2

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2002 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2203 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · t-тест для незалежних вибірок

Чому це відповідь

t-тест для незалежних вибірок порівнює два групові середні. Хі-квадрат — для частот; Вілкоксон — для пов'язаних вибірок із непараметричними даними.

Відповідь

B · t-тест для незалежних вибірок

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Дослідити, як люди осмислюють власний життєвий досвід

Чому це відповідь

IPA поглиблено вивчає невеликі однорідні вибірки, з'ясовуючи, як учасники тлумачать значущий досвід, а дослідник інтерпретує їхнє осмислення.

Відповідь

B · Дослідити, як люди осмислюють власний життєвий досвід

3.Описова статистика

Відповідь: s = 13,82

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 180/5 = 36

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 17² + (−8)² + 13² + (−11)² + (−11)² = 764

Стандартне відхилення

s = √(764/4) = 13,82

Відповідь

s = 13,82

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = 2

Таблиця нормального розподілу

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,7

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,3 + 1·0,25 + 2·0,05 + 3·0,05 + 4·0,35 = 1,9

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,25 + 4·0,05 + 9·0,05 + 16·0,35 = 6,5

Дисперсія

Var(X) = 6,5 − 1,9² = 2,89

σ = √2,89 = 1,7

Відповідь

σ = 1,7

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 4,665

Розкид X

μ = 2,4, Var(X) = 5,44, σ_X = 2,332

Лінійна зміна

σ_Y = |2|·2,332 = 4,665

Відповідь

σ_Y = 4,665

Середнє таки зсувається: E(Y) = 2·2,4 − 3 = 1,8.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,1056

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (113 − 105)/6,403 = 1,25

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056

Відповідь

P = 0,1056

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 254,2 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,8

z з таблиці

z ≈ 0,84

Назад до початкових одиниць

x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g

Відповідь

x = 254,2 g

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 2,434

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(50/50) = 0,8393

Нова похибка

E₂ = 2,9·0,8393 = 2,434

Відповідь

E₂ = 2,434

10.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −3,238 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (4·7,5² + 20·4,5²)/24 = 26,25

s_p = 5,123

Похибка оцінки

E = 2,064·5,123·√(1/5 + 1/21) = 5,262

Інтервал

−8,5 ± 5,262 → [−13,76, −3,238]

Відповідь

верхня межа = −3,238 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −3,096

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Статистика критерію

t = (47,42 − 50)/0,8333 = −3,096

Відповідь

t = −3,096

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 493,5

Похибка оцінки

E = 1,96·8/√36 = 2,613

Межа інтервалу

L = 496,1 − 2,613 = 493,5

Відповідь

L = 493,5

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9829

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 116/6 = 19,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 417,3

Коефіцієнт кореляції

r = 168/√(70·417,3) = 0,9829

Відповідь

r = 0,9829

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 26,67

Середні

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 255/6 = 42,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 277

Лінія регресії

b = 277/70 = 3,957

a = 42,5 − 3,957·6 = 18,76

ŷ = 18,76 + 3,957·x

Прогноз

ŷ = 18,76 + 3,957·2 = 26,67

Відповідь

ŷ = 26,67

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 2,083

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

курці: 80·100/200 = 40, 80·100/200 = 40

некурці: 120·100/200 = 60, 120·100/200 = 60

Статистика хі-квадрат

χ² = (45 − 40)²/40 + (35 − 40)²/40 + (55 − 60)²/60 + (65 − 60)²/60

χ² = 2,083

Відповідь

χ² = 2,083

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 34,31

Очікувані частоти

завод A: 48, 32

завод B: 24, 16

завод C: 60, 40

Статистика хі-квадрат

χ² = (64 − 48)²/48 + (16 − 32)²/32 + (29 − 24)²/24 + (11 − 16)²/16 + (39 − 60)²/60 + (61 − 40)²/40

χ² = 34,31

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

34,31 > 9,210

Відповідь

χ² = 34,31

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology