Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Значення p = 0,03 означає:

AЗ огляду на спостережувані дані, нульова гіпотеза правдива лише з імовірністю 3%
BЯкби нульова гіпотеза була правдивою, такі екстремальні дані траплялися б приблизно в 3% випадків
CРезультат відтвориться в 97% випадків
DЕфект великий

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Чому багато дослідників стверджують, що p-значення слід подавати разом із розмірами ефекту та довірчими інтервалами?

AP-значення не показує, наскільки великий чи точно оцінений ефект
BРозміри ефекту роблять обсяг вибірки неважливим для значущості
CДовірчі інтервали потрібні лише в якісних дослідженнях
DP-значення показують імовірність того, що гіпотеза правдива

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 52, 27, 25, 50, 32, 28.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень більша за 180?

μ = 170σ = 5x = 180

P =

5.ІмовірністьСередня

У мішечку 7 червоних і 3 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

7 / 3

P =

6.ІмовірністьСкладна

Тестують 6 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,5. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 6p = 0,5

P =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 490 і 574 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 500σ = 40x₁ = 490x₂ = 574

P =

8.Нормальний розподілСкладна

результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 30% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 100 балівσ = 15 балів30%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 13 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 8,5 і стандартне відхилення 7,7. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 13d̄ = 8,5s_d = 7,790%t(12) = 1,782

нижня межа = mmHg

10.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 20 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 10,6 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 19 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 8,907 і 2,5 % — вище від 32,852.

n = 20s = 10,6 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 250; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 5. Випадкова вибірка з 25 спостережень має середнє 247,76. Перевірте H₀: μ = 250 проти H₁: μ ≠ 250. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 250σ = 5n = 25x̄ = 247,76H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 16 вимірювань має середнє 107,8. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 12. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 107,8σ = 12n = 1690%

U =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 4,5.

n = 6x = 4,5

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1802 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 8 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Якби нульова гіпотеза була правдивою, такі екстремальні дані траплялися б приблизно в 3% випадків

Чому це відповідь

Значення p — ймовірність отримати результати, не менш екстремальні за спостережувані, якщо нульова гіпотеза правдива. Воно не показує ймовірності правдивості гіпотези чи розміру ефекту.

Відповідь

B · Якби нульова гіпотеза була правдивою, такі екстремальні дані траплялися б приблизно в 3% випадків

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · P-значення не показує, наскільки великий чи точно оцінений ефект

Чому це відповідь

P-значення сильно залежить від обсягу вибірки й лише показує, наскільки несподіваними є дані за нульової гіпотези. Розміри ефекту показують величину, а інтервали — точність.

Відповідь

A · P-значення не показує, наскільки великий чи точно оцінений ефект

3.Описова статистика

Відповідь: s = 12,11

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 214/6 = 35,67

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 16,33² + (−8,667)² + (−10,67)² + 14,33² + (−3,667)² + (−7,667)² = 733,3

Стандартне відхилення

s = √(733,3/5) = 12,11

Відповідь

s = 12,11

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = 2

Таблиця нормального розподілу

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,4667

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 7/10 · 6/9 = 42/90 = 0,4667

Відповідь

P = 0,4667

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,1094

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,5⁶ = 0,01563

P(X = 1) = 6·0,5·0,5⁵ = 0,09375

Додайте

P = 0,01563 + 0,09375 = 0,1094

Відповідь

P = 0,1094

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,5665

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (490 − 500)/40 = −0,25

z₂ = (574 − 500)/40 = 1,85

Площа між

P = Φ(1,85) − Φ(−0,25) = 0,9678 − 0,4013 = 0,5665

Відповідь

P = 0,5665

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 92,2 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,3

z з таблиці

z ≈ −0,52

Назад до початкових одиниць

x = 100 − 0,52·15 = 92,2 балів

Відповідь

x = 92,2 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 4,694 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 12, t = 1,782

Похибка оцінки

E = 1,782·7,7/√13 = 3,806

Інтервал

8,5 ± 3,806 → [4,694, 12,31]

Відповідь

нижня межа = 4,694 mmHg

10.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 8,061 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 19·10,6² = 2135

Межі для σ²

2135/32,852 = 64,98

2135/8,907 = 239,7

Межа для σ

σ = √64,98 = 8,061 µm

Відповідь

σ = 8,061 µm

95 % інтервал для σ: [8,061, 15,48] µm.

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,02509

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 5/√25 = 1

z = (247,76 − 250)/1 = −2,24

Площа хвоста

Φ(2,24) = 0,9875

1 − Φ(2,24) = 0,0125

p-значення

p = 2·0,0125 = 0,02509

Відповідь

p = 0,02509

p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 112,7

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,645·12/√16 = 4,935

Межа інтервалу

U = 107,8 + 4,935 = 112,7

Відповідь

U = 112,7

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9355

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 357/5 = 71,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 369

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1617

Коефіцієнт детермінації

r² = 369²/(90·1617) = 0,9355

Відповідь

r² = 0,9355

Близько 93,55% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 13,14

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 96/6 = 16

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −50

Лінія регресії

b = −50/17,5 = −2,857

a = 16 − (−2,857)·3,5 = 26

ŷ = 26 − 2,857·x

Прогноз

ŷ = 26 + (−2,857)·4,5 = 13,14

Відповідь

ŷ = 13,14

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 2,469

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

міські: 100·45/180 = 25, 100·63/180 = 35, 100·72/180 = 40

сільські: 80·45/180 = 20, 80·63/180 = 28, 80·72/180 = 32

Статистика хі-квадрат

χ² = (29 − 25)²/25 + (31 − 35)²/35 + (40 − 40)²/40 + (16 − 20)²/20 + (32 − 28)²/28 + (32 − 32)²/32

χ² = 2,469

Відповідь

χ² = 2,469

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 12,59

Ступені вільності

df = 8 − 1 − 1 = 6

Таблиця

χ²_crit(df = 6, α = 0,05) = 12,592

Відповідь

χ²_crit = 12,592

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology