Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

У контент-аналізі надійність між оцінювачами перевіряють так:

AДвоє дослідників кодують той самий матеріал, і результати порівнюють
BВикористовують більшу вибірку матеріалів
CЗапитують учасників згодом, чи правильне кодування їхнього матеріалу дослідником
DМатеріал кодують двічі за один день

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник маніпулює настроєм, показуючи сумний фільм, а потім просить учасників оцінити, наскільки сумно їм перед основним завданням. Навіщо включено цю оцінку?

AЯк основну залежну змінну дослідження
BЩоб провести з учасниками дебрифінг щодо цілей
CЯк перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано
DЩоб контрбалансувати порядок умов

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 32, 41, 36, 47, 57, 11, 10.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень менша за 52?

μ = 70σ = 15x = 52

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,35, 0,35, 0,15

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

Тест має 11 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,2, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?

n = 11p = 0,2k = 1

P =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 26,3 і 39,2 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x₁ = 26,3x₂ = 39,2

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 25%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 12 елементів має середнє 69,5 і стандартне відхилення s = 5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 12x̄ = 69,5s = 599%t(11) = 3,106

E =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 14. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?

σ = 14E = 499%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 72,2 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72,2s = 20n = 100

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 1 одиниць із потужністю 90 %. Стандартне відхилення 6. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 90%δ = 1σ = 6z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 129Σy = 637Σx² = 2931Σy² = 71319Σxy = 14450

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (9, 48). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(9, 48)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «міські, середній».

сума рядка = 79сума стовпця = 70N = 161

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 6 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Двоє дослідників кодують той самий матеріал, і результати порівнюють

Чому це відповідь

Якщо незалежні кодувальники присвоюють тим самим даним подібні коди (висока узгодженість чи кореляція), схема кодування надійна.

Відповідь

A · Двоє дослідників кодують той самий матеріал, і результати порівнюють

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Як перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано

Чому це відповідь

Перевірка маніпуляції підтверджує, що НЗ викликала задуманий психологічний стан. Без неї нульовий результат міг би означати, що маніпуляція не вдалася.

Відповідь

C · Як перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано

3.Описова статистика

Відповідь: s = 17,6

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 234/7 = 33,43

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−1,429)² + 7,571² + 2,571² + 13,57² + 23,57² + (−22,43)² + (−23,43)² = 1858

Стандартне відхилення

s = √(1858/6) = 17,6

Відповідь

s = 17,6

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,1151

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Відповідь

P = 0,1151

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 85

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 10·0,15 + 20·0,35 + 30·0,35 + 40·0,15 = 25

Середнє квадратів

E(X²) = 100·0,15 + 400·0,35 + 900·0,35 + 1600·0,15 = 710

Дисперсія

Var(X) = 710 − 25² = 85

Відповідь

Var(X) = 85

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,2362

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 1) = 11·0,2¹·0,8¹⁰ = 11·0,2·0,1074 = 0,2362

Відповідь

P = 0,2362

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7139

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (26,3 − 32)/6 = −0,95

z₂ = (39,2 − 32)/6 = 1,2

Площа між

P = Φ(1,2) − Φ(−0,95) = 0,8849 − 0,1711 = 0,7139

Відповідь

P = 0,7139

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 58,26 балів

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Назад до x

x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 балів

Відповідь

x = 58,26 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 4,483

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Похибка оцінки

E = 3,106·5/√12 = 4,483

Відповідь

E = 4,483

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 82

Виразіть n

n = (2,576·14/4)² = 81,29

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 82

Відповідь

n = 82

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,4

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 20/√100 = 20/10 = 2

Статистика критерію

t = (72,2 − 75)/2 = −1,4

Відповідь

t = −1,4

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 309

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 1,282)·6/1)² = 308,4

Округліть угору

n = 309

Відповідь

n = 309

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9896

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 14450 − 129·637/6 = 754,5

S_xx = 2931 − 129²/6 = 157,5

S_yy = 71319 − 637²/6 = 3691

Коефіцієнт кореляції

r = 754,5/√(157,5·3691) = 0,9896

Відповідь

r = 0,9896

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −1,85

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 220/5 = 44

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78

Лінія регресії

b = 78/40 = 1,95

a = 44 − 1,95·6 = 32,3

ŷ = 32,3 + 1,95·x

Прогнозоване значення

ŷ = 32,3 + 1,95·9 = 49,85

Залишок

e = 48 − 49,85 = −1,85

Відповідь

e = −1,85

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 34,35

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 79·70/161 = 34,35

Відповідь

E = 34,35

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 13,28

Ступені вільності

df = 6 − 1 − 1 = 4

Таблиця

χ²_crit(df = 4, α = 0,01) = 13,277

Відповідь

χ²_crit = 13,277

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology