Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Внутрішня валідність означає:

AЧи узагальнюються результати за межі дослідження на інші популяції, умови та часи
BЧи дає тест однакові результати з часом
CЧи справді спостережуваний ефект спричинила НЗ, а не інші чинники
DЧи вважали учасники дослідження цікавим

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник маніпулює настроєм, показуючи сумний фільм, а потім просить учасників оцінити, наскільки сумно їм перед основним завданням. Навіщо включено цю оцінку?

AЯк перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано
BЩоб контрбалансувати порядок умов
CЯк основну залежну змінну дослідження
DЩоб провести з учасниками дебрифінг щодо цілей

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 22, 20, 42, 16, 25, 16, 57.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень менша за 162?

μ = 170σ = 10x = 162

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,2, 0,35, 0,2

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €20 з імовірністю 0,15 і €250 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €5€20: p = 0,15€250: p = 0,01

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 117,8 s. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 117,8 s

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Час кола бігуна A (X) і час кола бігуна B (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 52 s і середнє квадратичне відхилення 4 s, Y має середнє 48 s і середнє квадратичне відхилення 3 s. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 36 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 5,7. Якою буде гранична похибка E₂ 99 % інтервалу за тими самими даними?

90%n₁ = 36E₁ = 5,799%

E₂ =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 16. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?

σ = 16E = 395%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 49,28 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 49,28s = 8n = 100

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 2,5 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 8. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,01потужність = 95%δ = 2,5σ = 8z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 23.

n = 5x = 23

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1402 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2603 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Чи справді спостережуваний ефект спричинила НЗ, а не інші чинники

Чому це відповідь

Висока внутрішня валідність означає, що альтернативні пояснення, як-от змішувальні змінні, вимоги ситуації чи упередженість експериментатора, виключено. Зовнішня валідність стосується узагальнення.

Відповідь

C · Чи справді спостережуваний ефект спричинила НЗ, а не інші чинники

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Як перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано

Чому це відповідь

Перевірка маніпуляції підтверджує, що НЗ викликала задуманий психологічний стан. Без неї нульовий результат міг би означати, що маніпуляція не вдалася.

Відповідь

A · Як перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано

3.Описова статистика

Відповідь: s = 15,46

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 198/7 = 28,29

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−6,286)² + (−8,286)² + 13,71² + (−12,29)² + (−3,286)² + (−12,29)² + 28,71² = 1433

Стандартне відхилення

s = √(1433/6) = 15,46

Відповідь

s = 15,46

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,2119

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Відповідь

P = 0,2119

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 1,15

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,25 + 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,2 = 1,5

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,2 = 3,4

Дисперсія

Var(X) = 3,4 − 1,5² = 1,15

Відповідь

Var(X) = 1,15

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 0,5 €

Чисті результати

G: 15 (p = 0,15), 245 (p = 0,01), −5 (p = 0,84)

Математичне сподівання

E(G) = 15·0,15 + 245·0,01 − 5·0,84 = 0,5 €

Відповідь

E(G) = 0,5 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,02275

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (117,8 − 105)/6,403 = 2

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7881

Розподіл різниці

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Відповідь

P = 0,7881

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 8,926

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(36/36) = 1,566

Нова похибка

E₂ = 5,7·1,566 = 8,926

Відповідь

E₂ = 8,926

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 110

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·16/3)² = 109,3

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 110

Відповідь

n = 110

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,9

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Статистика критерію

t = (49,28 − 50)/0,8 = −0,9

Відповідь

t = −0,9

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 162

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((2,326 + 1,645)·8/2,5)² = 161,5

Округліть угору

n = 162

Відповідь

n = 162

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9908

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 491/6 = 81,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 399

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2317

Коефіцієнт кореляції

r = 399/√(70·2317) = 0,9908

Відповідь

r = 0,9908

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 76,9

Середні

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 341/5 = 68,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116

Лінія регресії

b = 116/40 = 2,9

a = 68,2 − 2,9·20 = 10,2

ŷ = 10,2 + 2,9·x

Прогноз

ŷ = 10,2 + 2,9·23 = 76,9

Відповідь

ŷ = 76,9

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 29,37

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

міські: 100·42/140 = 30, 100·42/140 = 30, 100·56/140 = 40

сільські: 40·42/140 = 12, 40·42/140 = 12, 40·56/140 = 16

Статистика хі-квадрат

χ² = (32 − 30)²/30 + (41 − 30)²/30 + (27 − 40)²/40 + (10 − 12)²/12 + (1 − 12)²/12 + (29 − 16)²/16

χ² = 29,37

Відповідь

χ² = 29,37

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 4,438

Очікувані частоти

лінія 1: 32, 48

лінія 2: 32, 48

лінія 3: 40, 60

Статистика хі-квадрат

χ² = (29 − 32)²/32 + (51 − 48)²/48 + (27 − 32)²/32 + (53 − 48)²/48 + (48 − 40)²/40 + (52 − 60)²/60

χ² = 4,438

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

4,438 < 5,991

Відповідь

χ² = 4,438

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology