Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Дослідник порівнює агресивність дітей до і після появи телебачення у віддаленому містечку. Дослідник не контролював появи телебачення. Це:

AПольовий експеримент
BЛабораторний експеримент
CПриродний експеримент
DКореляційне опитування щодо перегляду телебачення

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Міри розміру ефекту, як-от d Коена, повідомляють тому, що вони:

AПоказують, чи статистично значущий результат на обраному рівні альфа
BВказують, скільки учасників вибуло
CПоказують, наскільки великий ефект, незалежно від обсягу вибірки
DСкасовують потребу в будь-якій гіпотезі

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 39, 58, 30, 47, 30.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень більша за 82,5?

μ = 70σ = 10x = 82,5

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,35, 0,1, 0,3

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

Тестують 12 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,5. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 12p = 0,5

P =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 248,5 і 251,25 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 250σ = 5x₁ = 248,5x₂ = 251,25

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,04 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 8 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 4,2 і стандартне відхилення 0,5. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 8d̄ = 4,2s_d = 0,599%t(7) = 3,499

нижня межа = mmHg

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 33. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?

σ = 33E = 2,595%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 73,2 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,2s = 20n = 100

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 100 вимірювань має середнє 499. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 4. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 499σ = 4n = 10090%

U =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (16, 72). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(16, 72)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «денна зміна, незначний».

сума рядка = 109сума стовпця = 60N = 191

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 5 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 5

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Природний експеримент

Чому це відповідь

У природному експерименті НЗ змінюється через події поза контролем дослідника. Екологічна валідність висока, але випадковий розподіл неможливий.

Відповідь

C · Природний експеримент

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Показують, наскільки великий ефект, незалежно від обсягу вибірки

Чому це відповідь

У великих вибірках навіть крихітні ефекти можуть бути значущими. Розмір ефекту виражає величину відмінності, напр. d = 0,2 малий, 0,5 середній, 0,8 великий.

Відповідь

C · Показують, наскільки великий ефект, незалежно від обсягу вибірки

3.Описова статистика

Відповідь: s = 11,95

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 204/5 = 40,8

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−1,8)² + 17,2² + (−10,8)² + 6,2² + (−10,8)² = 570,8

Стандартне відхилення

s = √(570,8/4) = 11,95

Відповідь

s = 11,95

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,1056

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Відповідь

P = 0,1056

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 134,8

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 10·0,25 + 20·0,35 + 30·0,1 + 40·0,3 = 24,5

Середнє квадратів

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,35 + 900·0,1 + 1600·0,3 = 735

Дисперсія

Var(X) = 735 − 24,5² = 134,8

Відповідь

Var(X) = 134,8

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,003174

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,5¹² = 0,0002441

P(X = 1) = 12·0,5·0,5¹¹ = 0,00293

Додайте

P = 0,0002441 + 0,00293 = 0,003174

Відповідь

P = 0,003174

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,2166

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (248,5 − 250)/5 = −0,3

z₂ = (251,25 − 250)/5 = 0,25

Площа між

P = Φ(0,25) − Φ(−0,3) = 0,5987 − 0,3821 = 0,2166

Відповідь

P = 0,2166

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9207

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02828 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,04)/0,02828 = −1,41

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Відповідь

P = 0,9207

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 3,581 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 7, t = 3,499

Похибка оцінки

E = 3,499·0,5/√8 = 0,6185

Інтервал

4,2 ± 0,6185 → [3,581, 4,819]

Відповідь

нижня межа = 3,581 mmHg

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 670

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·33/2,5)² = 669,4

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 670

Відповідь

n = 670

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,9

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 20/√100 = 20/10 = 2

Статистика критерію

t = (73,2 − 75)/2 = −0,9

Відповідь

t = −0,9

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 499,7

Похибка оцінки

E = 1,645·4/√100 = 0,658

Межа інтервалу

U = 499 + 0,658 = 499,7

Відповідь

U = 499,7

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9993

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 153/6 = 25,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 237

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 803,5

Коефіцієнт кореляції

r = 237/√(70·803,5) = 0,9993

Відповідь

r = 0,9993

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −2,352

Середні

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 562/6 = 93,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 338

Лінія регресії

b = 338/70 = 4,829

a = 93,67 − 4,829·20 = −2,905

ŷ = −2,905 + 4,829·x

Прогнозоване значення

ŷ = −2,905 + 4,829·16 = 74,35

Залишок

e = 72 − 74,35 = −2,352

Відповідь

e = −2,352

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 34,24

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 109·60/191 = 34,24

Відповідь

E = 34,24

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 4

Ступені вільності

df = 5 − 1 = 4

Відповідь

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology