Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Ті самі 25 учасників виконують тест пам'яті до і після вживання кофеїну. Бали інтервальні й приблизно нормальні. Який тест доречний?

AU-тест Манна–Вітні
Bt-тест для парних (пов'язаних) вибірок
Ct-тест для незалежних вибірок
DТест хі-квадрат

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Учасник приймає препарат або цукрову пігулку, але не знає, що саме, а дослідник знає. Що це за дизайн і яке упередження залишається можливим?

AОдинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива
BВідкрите випробування; ефекти плацебо повністю контрольовано
CОдинарний сліпий; вимоги ситуації неможливі
DПодвійний сліпий; жодне упередження неможливе

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 22, 33, 45, 18, 55.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень менша за 55?

μ = 70σ = 10x = 55

P =

5.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 6 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 6

P =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €2. Ви виграєте €4 з імовірністю 0,2 і €40 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €2€4: p = 0,2€40: p = 0,01

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9625. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9625

z =

8.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 90% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів90%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 8 елементів має середнє 63 і стандартне відхилення s = 7,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 8x̄ = 63s = 7,590%t(7) = 1,895

верхня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 19. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?

σ = 19E = 0,595%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 36 студентів має середній бал 94,8 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 94,8s = 12n = 36

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 49 вимірювань має середнє 119,7. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 20. Знайдіть верхню межу U 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 119,7σ = 20n = 4995%

U =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (10, 85). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(10, 85)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 3 рядками й 4 стовпцями (без урахування підсумків). За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · t-тест для парних (пов'язаних) вибірок

Чому це відповідь

Парний t-тест порівнює середні тих самих учасників у двох умовах, використовуючи різниці в межах кожної особи.

Відповідь

B · t-тест для парних (пов'язаних) вибірок

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Одинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива

Чому це відповідь

В одинарному сліпому дизайні учасники не знають своєї умови, що контролює очікування плацебо. Знання дослідника однаково може впливати на результати, тому перевагу віддають подвійним сліпим дизайнам.

Відповідь

A · Одинарний сліпий; упередженість експериментатора ще можлива

3.Описова статистика

Відповідь: s = 15,5

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 173/5 = 34,6

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−12,6)² + (−1,6)² + 10,4² + (−16,6)² + 20,4² = 961,2

Стандартне відхилення

s = √(961,2/4) = 15,5

Відповідь

s = 15,5

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,06681

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,6651

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Відповідь

P = 0,6651

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = −0,8 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 2 (p = 0,2), 38 (p = 0,01), −2 (p = 0,79)

Математичне сподівання

E(G) = 2·0,2 + 38·0,01 − 2·0,79 = −0,8 €

Відповідь

E(G) = −0,8 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 2,08

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,9625)/2 = 0,9812

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9812 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 2,08

Відповідь

z = 2,08

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 52,2 балів

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,1

z з таблиці

z ≈ −1,28

Назад до початкових одиниць

x = 65 − 1,28·10 = 52,2 балів

Відповідь

x = 52,2 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 68,02

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 7, t = 1,895

Похибка оцінки

E = 1,895·7,5/√8 = 5,025

Інтервал

63 ± 5,025 → [57,98, 68,02]

Відповідь

верхня межа = 68,02

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 5548

Виразіть n

n = (1,96·19/0,5)² = 5547

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 5548

Відповідь

n = 5548

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,6

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Статистика критерію

t = (94,8 − 100)/2 = −2,6

Відповідь

t = −2,6

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 125,3

Похибка оцінки

E = 1,96·20/√49 = 5,6

Межа інтервалу

U = 119,7 + 5,6 = 125,3

Відповідь

U = 125,3

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,8359

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 351/6 = 58,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 49,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 167,5

Коефіцієнт детермінації

r² = 49,5²/(17,5·167,5) = 0,8359

Відповідь

r² = 0,8359

Близько 83,59% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −2,576

Середні

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 467/6 = 77,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 341

Лінія регресії

b = 341/70 = 4,871

a = 77,83 − 4,871·8 = 38,86

ŷ = 38,86 + 4,871·x

Прогнозоване значення

ŷ = 38,86 + 4,871·10 = 87,58

Залишок

e = 85 − 87,58 = −2,576

Відповідь

e = −2,576

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 8,889

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

міські: 40·48/160 = 12, 40·48/160 = 12, 40·64/160 = 16

сільські: 120·48/160 = 36, 120·48/160 = 36, 120·64/160 = 48

Статистика хі-квадрат

χ² = (16 − 12)²/12 + (16 − 12)²/12 + (8 − 16)²/16 + (32 − 36)²/36 + (32 − 36)²/36 + (56 − 48)²/48

χ² = 8,889

Відповідь

χ² = 8,889

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 12,59

Ступені вільності

df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6

Таблиця

χ²_crit(df = 6, α = 0,05) = 12,592

Відповідь

χ²_crit = 12,592

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology