Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Тест настільки легкий, що майже всі учасники набирають бали, близькі до максимуму. Це називають:

  1. AЕфектом практики
  2. BЕфектом підлоги
  3. CЕфектом стелі
  4. DЕфектом порядку
2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Який непараметричний тест порівнює дві пов'язані вибірки, як-от бали «до» і «після» за порядковою шкалою?

  1. AЗнаково-ранговий тест Вілкоксона
  2. BТест хі-квадрат на незалежність
  3. CU-тест Манна — Вітні
  4. Dt-тест для незалежних вибірок
3.Описова статистикаСередня
15202530354045505560

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 60, 37, 44, 54, 25, 12.

n = 6
s =
4.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень менша за 78,75?

μ = 60σ = 15x = 78,75
P =
5.ІмовірністьСередня
n = 9k = 3N = ?

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 9 осіб? Порядок не має значення.

n = 9k = 3
N =
6.ІмовірністьСкладна
n = 8, p = 0,25: P(X = 4) = ?k012345678

Тест має 8 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,25, незалежно. Яка ймовірність P рівно 4 правильних відповідей?

n = 8p = 0,25k = 4
P =
7.Нормальний розподілСередня
−3−2−10123zзаштрихована площа праворуч від z = 0,8289

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,8289. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,8289
z =
8.Нормальний розподілСкладна
μ = 32x = ?5%

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 5%
x = min
9.Довірчі інтервалиСередня
n = 30, s = 17,5L = ?Ux̄ = 30E99%

Вибірка з 30 елементів має середнє 30 і стандартне відхилення s = 17,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 30x̄ = 30s = 17,599%t(29) = 2,756
нижня межа =
10.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 10, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,599%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 10. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?

σ = 10E = 2,599%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −2,01102,011

Вибірка з 49 студентів має середній бал 202,7 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 202,7s = 8n = 49
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2α = 0,05βσ = 7, потужність 90%, n = ?

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 2 одиниць із потужністю 90 %. Стандартне відхилення 7. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 90%δ = 2σ = 7zα = 1,645zβ = 1,282
n =
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy3425567629671176xy510406080

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 35Σy = 303Σx² = 285Σy² = 19009Σxy = 2279
r =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy26496138171022xy5105101520x = 7

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 7.

n = 5x = 7
ŷ =
15.Критерії хі-квадратСередня
кашельбез кашлюРазомкурці5347100некурці196180Разом72108180

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1802 × 2
χ² =
16.Критерії хі-квадратСкладна
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 6 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). За таблицею знайдіть критичне значення χ²crit при рівні значущості α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Ефектом стелі

Чому це відповідь

Ефекти стелі приховують відмінності між умовами, бо ніхто не може набрати більше. Ефекти підлоги — протилежність, коли завдання надто складне.

Відповідь

C · Ефектом стелі
2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Знаково-ранговий тест Вілкоксона

Чому це відповідь

Тест Вілкоксона призначений для парних порядкових даних; U-тест Манна — Вітні — його відповідник для незалежних груп.

Відповідь

A · Знаково-ранговий тест Вілкоксона
3.Описова статистика

Відповідь: s = 18

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 232/6 = 38,67

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 21,33² + (−1,667)² + 5,333² + 15,33² + (−13,67)² + (−26,67)² = 1619

Стандартне відхилення

s = √(1619/5) = 18

Відповідь

s = 18
4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8944

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944

Відповідь

P = 0,8944
5.Імовірність

Відповідь: N = 84

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(9, 3) = (9·8·7)/(3·2·1) = 84

Відповідь

N = 84
6.Імовірність

Відповідь: P = 0,08652

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 4) = 70·0,254·0,754 = 70·0,003906·0,3164 = 0,08652

Відповідь

P = 0,08652
7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −0,95

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,8289 = 0,1711

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,1711 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −0,95

Відповідь

z = −0,95
8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 22,13 min

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Назад до x

x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min

Відповідь

x = 22,13 min
9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 21,19

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Похибка оцінки

E = 2,756·17,5/√30 = 8,806

Інтервал

30 ± 8,806 → [21,19, 38,81]

Відповідь

нижня межа = 21,19
10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 107

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·10/2,5)² = 106,2

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 107

Відповідь

n = 107
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,362

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Статистика критерію

t = (202,7 − 200)/1,143 = 2,362

Відповідь

t = 2,362
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| > 2,011, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 105

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 1,282)·7/2)² = 104,9

Округліть угору

n = 105

Відповідь

n = 105
13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,982

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 2279 − 35·303/5 = 158
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 19009 − 303²/5 = 647,2

Коефіцієнт кореляції

r = 158/√(40·647,2) = 0,982

Відповідь

r = 0,982
14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 15,4

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 67/5 = 13,4

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80

Лінія регресії

b = 80/40 = 2
a = 13,4 − 2·6 = 1,4
ŷ = 1,4 + 2·x

Прогноз

ŷ = 1,4 + 2·7 = 15,4

Відповідь

ŷ = 15,4
15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 15,84

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

курці: 100·72/180 = 40, 100·108/180 = 60
некурці: 80·72/180 = 32, 80·108/180 = 48

Статистика хі-квадрат

χ² = (53 − 40)²/40 + (47 − 60)²/60 + (19 − 32)²/32 + (61 − 48)²/48
χ² = 15,84

Відповідь

χ² = 15,84

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²crit = 15,09

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Ступені вільності

df = 6 − 1 = 5

Таблиця

χ²crit(df = 5, α = 0,01) = 15,086

Відповідь

χ²crit = 15,086

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology