Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Який тест порівнює дві незалежні групи, коли дані порядкові або явно не нормальні?

AТест хі-квадрат
Bt-тест для незалежних вибірок
CТест знакових рангів Вілкоксона
DU-тест Манна–Вітні

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Шкала самозвіту виявляє, що люди, які погоджуються з багатьма твердженнями, набирають високі бали незалежно від змісту. Що це за упередження відповідей і як його зменшити?

AВимоги ситуації; використати подвійний сліпий дизайн
BУпередження соціальної бажаності; використати більшу вибірку
CСхильність до згоди (acquiescence); додати пункти зі зворотним формулюванням
DЕфекти порядку; контрбалансувати учасників

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 38, 54, 32, 45, 18, 27.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 75.

μ = 50σ = 20x = 75

z =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,05, 0,25, 0,3, 0,35

σ =

6.ІмовірністьСкладна

Тест має 12 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,6, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?

n = 12p = 0,6k = 1

P =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9164. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9164

z =

8.Нормальний розподілСкладна

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 99 % значень (99-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 99%

x = балів

9.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 100 телефонів, середнє 83 h, відоме стандартне відхилення 11 h. Модель 2: 100 телефонів, середнє 74,5 h, відоме стандартне відхилення 3 h. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 83 hσ₁ = 11 hn₂ = 100x̄₂ = 74,5 hσ₂ = 3 h99%

нижня межа = h

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 6 ділянок, середній урожай 77,5 kg, стандартне відхилення 7,5 kg. Група ділянок 2: 11 ділянок, середнє 70,5 kg, стандартне відхилення 3,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 77,5s₁ = 7,5n₂ = 11x̄₂ = 70,5s₂ = 3,595%t(15) = 2,131

нижня межа = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

10 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 5,84, стандартне відхилення різниць 6,6. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 10d̄ = 5,84s_d = 6,6

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 100 проти H₁: μ > 100 виконують на рівні α = 0,05 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 5. Насправді середнє дорівнює 101,2. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.

μ₀ = 100μ = 101,2σ = 5n = 100α = 0,05

β = %

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 105Σy = 397Σx² = 2295Σy² = 33251Σxy = 8724

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «студенти, автомобіль».

сума рядка = 75сума стовпця = 53N = 185

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 2 рядками й 5 стовпцями (без урахування підсумків). За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · U-тест Манна–Вітні

Чому це відповідь

U-тест Манна–Вітні порівнює ранги між двома непов'язаними групами. Тест знакових рангів Вілкоксона призначений для пов'язаних вибірок.

Відповідь

D · U-тест Манна–Вітні

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Схильність до згоди (acquiescence); додати пункти зі зворотним формулюванням

Чому це відповідь

Схильність до згоди — тенденція погоджуватися з пунктами. Якщо поєднувати позитивно й негативно сформульовані пункти, згода з усім уже не дає екстремального бала.

Відповідь

C · Схильність до згоди (acquiescence); додати пункти зі зворотним формулюванням

3.Описова статистика

Відповідь: s = 12,88

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 214/6 = 35,67

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 2,333² + 18,33² + (−3,667)² + 9,333² + (−17,67)² + (−8,667)² = 829,3

Стандартне відхилення

s = √(829,3/5) = 12,88

Відповідь

s = 12,88

4.Описова статистика

Відповідь: z = 1,25

Стандартизуйте

z = (75 − 50)/20 = 1,25

Відповідь

z = 1,25

5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,108

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,05 + 2·0,05 + 3·0,25 + 4·0,3 + 5·0,35 = 3,85

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,05 + 9·0,25 + 16·0,3 + 25·0,35 = 16,05

Дисперсія

Var(X) = 16,05 − 3,85² = 1,227

σ = √1,227 = 1,108

Відповідь

σ = 1,108

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,000302

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 1) = 12·0,6¹·0,4¹¹ = 12·0,6·4,194 × 10⁻⁵ = 0,000302

Відповідь

P = 0,000302

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,73

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,9164)/2 = 0,9582

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9582 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,73

Відповідь

z = 1,73

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 88,26 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Назад до x

x = 65 + 2,326·10 = 88,26 балів

Відповідь

x = 88,26 балів

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 5,563 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 83 − 74,5 = 8,5

Стандартна похибка

SE = √(11²/100 + 3²/100) = 1,14

Похибка оцінки

E = 2,576·1,14 = 2,937

Інтервал

8,5 ± 2,937 → [5,563, 11,44]

Відповідь

нижня межа = 5,563 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

10.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 1,389 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (5·7,5² + 10·3,5²)/15 = 26,92

s_p = 5,188

Похибка оцінки

E = 2,131·5,188·√(1/6 + 1/11) = 5,611

Інтервал

7 ± 5,611 → [1,389, 12,61]

Відповідь

нижня межа = 1,389 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,798

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 6,6/√10 = 2,087

Статистика критерію

t = 5,84/2,087 = 2,798

Відповідь

t = 2,798

При df = 9 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,262; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: β = 22,51 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 5/√100 = 0,5

x̄_c = 100 + 1,645·0,5 = 100,8

z при справжньому середньому

z = (100,8 − 101,2)/0,5 = −0,755

Помилка другого роду

потужність = P(Z > −0,755) = 77,49%

β = 100% − 77,49% = 22,51%

Відповідь

β = 22,51%

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,981

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 8724 − 105·397/5 = 387

S_xx = 2295 − 105²/5 = 90

S_yy = 33251 − 397²/5 = 1729

Коефіцієнт кореляції

r = 387/√(90·1729) = 0,981

Відповідь

r = 0,981

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 29,4

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 102/5 = 20,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

Лінія регресії

b = 120/40 = 3

a = 20,4 − 3·6 = 2,4

ŷ = 2,4 + 3·x

Прогноз

ŷ = 2,4 + 3·9 = 29,4

Відповідь

ŷ = 29,4

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 21,49

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 75·53/185 = 21,49

Відповідь

E = 21,49

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 9,488

Ступені вільності

df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4

Таблиця

χ²_crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488

Відповідь

χ²_crit = 9,488

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology