Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Дослідник надсилає опитувальник усім студентам, а потім просить респондентів залучити друзів, які теж користуються рідкісним застосунком для сну. Який метод формування вибірки використано на другому кроці?

AВибірку «сніжної кулі»
BСистематичну вибірку
CВипадкову вибірку
DСтратифіковану вибірку

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідження виявляє, що вплив стресу на захворюваність слабший у людей із сильною соціальною підтримкою. Соціальна підтримка виступає як:

AМедіатор
BЗмішувальна змінна
CМодератор
DЗалежна змінна

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 35, 17, 47, 40, 27, 49, 44.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень менша за 152?

μ = 170σ = 15x = 152

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,1, 0,15, 0,2, 0,3

σ =

6.ІмовірністьСкладна

Тест має 7 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,4, незалежно. Яка ймовірність P рівно 4 правильних відповідей?

n = 7p = 0,4k = 4

P =

7.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 250 g і середнім квадратичним відхиленням 4 g; Y незалежна й нормальна із середнім 500 g і середнім квадратичним відхиленням 9 g. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 762,3 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 762,3 g

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Маса виробу з лінії 1 (X) і з лінії 2 (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 500 g і середнє квадратичне відхилення 8 g, Y має середнє 490 g і середнє квадратичне відхилення 6 g. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 12 елементів має середнє 118,5 і стандартне відхилення s = 16,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 12x̄ = 118,5s = 16,590%t(11) = 1,796

верхня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 15 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 2,1 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 14 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 5,629 і 2,5 % — вище від 26,119.

n = 15s = 2,1 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 студентів має середній бал 113,8 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 113,8s = 10n = 25

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 81 вимірювань має середнє 496,9. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 20. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 496,9σ = 20n = 8195%

L =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 2,5.

n = 6x = 2,5

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1602 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Вибірку «сніжної кулі»

Чому це відповідь

Вибірка «сніжної кулі» корисна для важкодоступних груп, але учасники, ймовірно, матимуть спільні характеристики, і вибірка не репрезентативна.

Відповідь

A · Вибірку «сніжної кулі»

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Модератор

Чому це відповідь

Модератор змінює силу чи напрям зв'язку між двома змінними. Медіатор пояснює механізм, через який одна змінна впливає на іншу.

Відповідь

C · Модератор

3.Описова статистика

Відповідь: s = 11,59

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 259/7 = 37

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−2)² + (−20)² + 10² + 3² + (−10)² + 12² + 7² = 806

Стандартне відхилення

s = √(806/6) = 11,59

Відповідь

s = 11,59

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,1151

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Відповідь

P = 0,1151

5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,568

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,25 + 2·0,1 + 3·0,15 + 4·0,2 + 5·0,3 = 3,2

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,1 + 9·0,15 + 16·0,2 + 25·0,3 = 12,7

Дисперсія

Var(X) = 12,7 − 3,2² = 2,46

σ = √2,46 = 1,568

Відповідь

σ = 1,568

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,1935

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 4) = 35·0,4⁴·0,6³ = 35·0,0256·0,216 = 0,1935

Відповідь

P = 0,1935

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,1056

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Стандартизуйте

z = (762,3 − 750)/9,849 = 1,25

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056

Відповідь

P = 0,1056

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Розподіл різниці

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Імовірність

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 127,1

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Похибка оцінки

E = 1,796·16,5/√12 = 8,555

Інтервал

118,5 ± 8,555 → [109,9, 127,1]

Відповідь

верхня межа = 127,1

10.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 3,312 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 14·2,1² = 61,74

Межі для σ²

61,74/26,119 = 2,364

61,74/5,629 = 10,97

Межа для σ

σ = √10,97 = 3,312 µm

Відповідь

σ = 3,312 µm

95 % інтервал для σ: [1,537, 3,312] µm.

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −3,1

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Статистика критерію

t = (113,8 − 120)/2 = −3,1

Відповідь

t = −3,1

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 492,5

Похибка оцінки

E = 1,96·20/√81 = 4,356

Межа інтервалу

L = 496,9 − 4,356 = 492,5

Відповідь

L = 492,5

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9882

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 118/5 = 23,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 569,2

Коефіцієнт детермінації

r² = 150²/(40·569,2) = 0,9882

Відповідь

r² = 0,9882

Близько 98,82% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 39,49

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 257/6 = 42,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58,5

Лінія регресії

b = 58,5/17,5 = 3,343

a = 42,83 − 3,343·3,5 = 31,13

ŷ = 31,13 + 3,343·x

Прогноз

ŷ = 31,13 + 3,343·2,5 = 39,49

Відповідь

ŷ = 39,49

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 27,58

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

чоловіки: 100·72/160 = 45, 100·88/160 = 55

жінки: 60·72/160 = 27, 60·88/160 = 33

Статистика хі-квадрат

χ² = (61 − 45)²/45 + (39 − 55)²/55 + (11 − 27)²/27 + (49 − 33)²/33

χ² = 27,58

Відповідь

χ² = 27,58

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 1,34

Очікувані частоти

вік 18–30: 50, 50

вік 31–50: 20, 20

вік 51+: 30, 30

Статистика хі-квадрат

χ² = (54 − 50)²/50 + (46 − 50)²/50 + (19 − 20)²/20 + (21 − 20)²/20 + (27 − 30)²/30 + (33 − 30)²/30

χ² = 1,34

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

1,34 < 5,991

Відповідь

χ² = 1,34

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology