Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Екологічна валідність означає:

AЧи передбачає тест майбутню поведінку
BНаскільки тест узгоджений у часі
CНаскільки результати узагальнюються на реальні життєві ситуації
DЧи виглядає тест так, ніби вимірює потрібне

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник хоче показати, що нова шкала тривожності вимірює щось відмінне від депресії. Низькі кореляції зі шкалою депресії підтвердили б:

AОчевидну (face) валідність
BКонвергентну валідність
CПрогностичну валідність
DДискримінантну валідність

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 18, 43, 37, 52, 52, 29.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень менша за 188?

μ = 170σ = 12x = 188

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €2. Ви виграєте €8 з імовірністю 0,2 і €100 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €2€8: p = 0,2€100: p = 0,02

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 50,5 і 75,5 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 65σ = 10x₁ = 50,5x₂ = 75,5

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Зріст чоловіків (X) і жінок (Y) у групі незалежні та нормальні: X має середнє 180 cm і середнє квадратичне відхилення 10 cm, Y має середнє 170 cm і середнє квадратичне відхилення 12 cm. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 30 елементів має середнє 22 і стандартне відхилення s = 10. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 30x̄ = 22s = 1090%t(29) = 1,699

нижня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,8 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,01?

p ≈ 0,8E = 0,0195%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 студентів має середній бал 95,68 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 95,68s = 12n = 25

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 16 вимірювань має середнє 83,5. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 20. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 83,5σ = 20n = 1695%

L =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 61?

n = 5ŷ = 61

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1602 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 8 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 8

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Наскільки результати узагальнюються на реальні життєві ситуації

Чому це відповідь

Екологічна валідність стосується того, чи застосовні результати до повсякденних ситуацій. Суворо контрольовані лабораторні дослідження часто мають її низькою.

Відповідь

C · Наскільки результати узагальнюються на реальні життєві ситуації

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Дискримінантну валідність

Чому це відповідь

Дискримінантну (дивергентну) валідність показано, коли інструмент слабко корелює з інструментами для інших конструктів. Конвергентна валідність — це висока кореляція з інструментами для того самого конструкту.

Відповідь

D · Дискримінантну валідність

3.Описова статистика

Відповідь: s = 13,4

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 231/6 = 38,5

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−20,5)² + 4,5² + (−1,5)² + 13,5² + 13,5² + (−9,5)² = 897,5

Стандартне відхилення

s = √(897,5/5) = 13,4

Відповідь

s = 13,4

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9332

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Відповідь

P = 0,9332

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 0,6475

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Дисперсія

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

Відповідь

Var(X) = 0,6475

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 1,6 €

Чисті результати

G: 6 (p = 0,2), 98 (p = 0,02), −2 (p = 0,78)

Математичне сподівання

E(G) = 6·0,2 + 98·0,02 − 2·0,78 = 1,6 €

Відповідь

E(G) = 1,6 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7796

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (50,5 − 65)/10 = −1,45

z₂ = (75,5 − 65)/10 = 1,05

Площа між

P = Φ(1,05) − Φ(−1,45) = 0,8531 − 0,07353 = 0,7796

Відповідь

P = 0,7796

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7389

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Відповідь

P = 0,7389

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 18,9

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 29, t = 1,699

Похибка оцінки

E = 1,699·10/√30 = 3,102

Інтервал

22 ± 3,102 → [18,9, 25,1]

Відповідь

нижня межа = 18,9

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 6147

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,96²·0,8·0,2/0,01² = 6147

Округліть угору

n = 6147

Відповідь

n = 6147

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,8

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

Статистика критерію

t = (95,68 − 100)/2,4 = −1,8

Відповідь

t = −1,8

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 73,7

Похибка оцінки

E = 1,96·20/√16 = 9,8

Межа інтервалу

L = 83,5 − 9,8 = 73,7

Відповідь

L = 73,7

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,767

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 125/6 = 20,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 64,83

Коефіцієнт детермінації

r² = −29,5²/(17,5·64,83) = 0,767

Відповідь

r² = 0,767

Близько 76,7% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 3,902

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 333/5 = 66,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 204

Лінія регресії

b = 204/40 = 5,1

a = 66,6 − 5,1·5 = 41,1

ŷ = 41,1 + 5,1·x

Розв’яжіть щодо x

x = (61 − 41,1)/5,1 = 3,902

Відповідь

x = 3,902

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 2,694

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

курці: 60·88/160 = 33, 60·72/160 = 27

некурці: 100·88/160 = 55, 100·72/160 = 45

Статистика хі-квадрат

χ² = (38 − 33)²/33 + (22 − 27)²/27 + (50 − 55)²/55 + (50 − 45)²/45

χ² = 2,694

Відповідь

χ² = 2,694

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 7

Ступені вільності

df = 8 − 1 = 7

Відповідь

df = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology