Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

У дослідженнях методом спостереження вибірка подій (event sampling) означає:

AВипадковий вибір учасників
BФіксацію кожного випадку певної поведінки
CФіксацію лише тих подій, про які повідомляють учасники
DФіксацію поведінки лише через фіксовані проміжки часу

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

«Криза відтворюваності» в психології означає:

AЩо багато опублікованих результатів не відтворюються в нових дослідженнях
BБрак учасників для експериментів
CТе, що журнали за законом зобов'язані відхиляти всі подані дослідження-реплікації
DКопіювання опитувальників без дозволу

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 10, 49, 14, 27, 50, 29, 18.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 5. Знайдіть z-оцінку z для результату 67,5.

μ = 70σ = 5x = 67,5

z =

5.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 3 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 3

P =

6.ІмовірністьСкладна

Тест має 12 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,5, незалежно. Яка ймовірність P рівно 4 правильних відповідей?

n = 12p = 0,5k = 4

P =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 174,85 і 188,85 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 174,85x₂ = 188,85

P =

8.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 10% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm10%

x = cm

9.Довірчі інтервалиСередня

95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 100 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 1,7. Якою буде гранична похибка E₂ 90 % інтервалу за 400 спостереженнями?

95%n₁ = 100E₁ = 1,790%n₂ = 400

E₂ =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 29. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?

σ = 29E = 595%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 64 студентів має середній бал 123,6 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 123,6s = 10n = 64

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 100 з 250 пацієнтів, які отримували лікування A, і 41 з 120 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 100n₁ = 250x₂ = 41n₂ = 120

z =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 33?

n = 6ŷ = 33

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «студенти, автомобіль».

сума рядка = 77сума стовпця = 54N = 187

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2403 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Фіксацію кожного випадку певної поведінки

Чому це відповідь

Вибірка подій підраховує кожен випадок цільової поведінки. Часова вибірка фіксує, що відбувається через задані інтервали, як-от кожні 30 секунд.

Відповідь

B · Фіксацію кожного випадку певної поведінки

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Що багато опублікованих результатів не відтворюються в нових дослідженнях

Чому це відповідь

Великі проєкти реплікацій виявили, що багато ефектів менші або відсутні, що пов'язано з упередженістю публікацій, малими вибірками та гнучким аналізом. Однією з відповідей є попередня реєстрація.

Відповідь

A · Що багато опублікованих результатів не відтворюються в нових дослідженнях

3.Описова статистика

Відповідь: s = 16,06

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 197/7 = 28,14

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−18,14)² + 20,86² + (−14,14)² + (−1,143)² + 21,86² + 0,8571² + (−10,14)² = 1547

Стандартне відхилення

s = √(1547/6) = 16,06

Відповідь

s = 16,06

4.Описова статистика

Відповідь: z = −0,5

Стандартизуйте

z = (67,5 − 70)/5 = −0,5

Відповідь

z = −0,5

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,4213

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Відповідь

P = 0,4213

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,1208

Біноміальна формула

P(X = 4) = 495·0,5⁴·0,5⁸ = 495·0,0625·0,003906 = 0,1208

Відповідь

P = 0,1208

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6131

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (174,85 − 178)/7 = −0,45

z₂ = (188,85 − 178)/7 = 1,55

Площа між

P = Φ(1,55) − Φ(−0,45) = 0,9394 − 0,3264 = 0,6131

Відповідь

P = 0,6131

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 169 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,1

z з таблиці

z ≈ −1,28

Назад до початкових одиниць

x = 178 − 1,28·7 = 169 cm

Відповідь

x = 169 cm

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 0,7134

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(100/400) = 0,4196

Нова похибка

E₂ = 1,7·0,4196 = 0,7134

Відповідь

E₂ = 0,7134

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 130

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·29/5)² = 129,2

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 130

Відповідь

n = 130

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,88

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25

Статистика критерію

t = (123,6 − 120)/1,25 = 2,88

Відповідь

t = 2,88

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 1,082

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Вибіркові частки

p̂₁ = 100/250 = 0,4

p̂₂ = 41/120 = 0,3417

p̂ = 141/370 = 0,3811

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,3811·0,6189·(1/250 + 1/120)) = 0,05393

Статистика критерію

z = (0,4 − 0,3417)/0,05393 = 1,082

Відповідь

z = 1,082

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9897

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 93/5 = 18,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 29,2

Коефіцієнт детермінації

r² = −17²/(10·29,2) = 0,9897

Відповідь

r² = 0,9897

Близько 98,97% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 2,466

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 223/6 = 37,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70,5

Лінія регресії

b = 70,5/17,5 = 4,029

a = 37,17 − 4,029·3,5 = 23,07

ŷ = 23,07 + 4,029·x

Розв’яжіть щодо x

x = (33 − 23,07)/4,029 = 2,466

Відповідь

x = 2,466

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 22,24

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 77·54/187 = 22,24

Відповідь

E = 22,24

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 6,122

Очікувані частоти

вік 18–30: 48, 32

вік 31–50: 36, 24

вік 51+: 60, 40

Статистика хі-квадрат

χ² = (49 − 48)²/48 + (31 − 32)²/32 + (43 − 36)²/36 + (17 − 24)²/24 + (52 − 60)²/60 + (48 − 40)²/40

χ² = 6,122

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

6,122 > 5,991

Відповідь

χ² = 6,122

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology