Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Упередженість експериментатора найбезпосередніше зменшує:

AЗалучення до збирання даних дослідника, який не знає гіпотези чи умов
BВикористання односторонньої гіпотези
CЗалучення лише добровольців
DВикористання більшої вибірки

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідниця порівнює три чи більше групових середніх. Чому вона використовує однофакторний дисперсійний аналіз, а не кілька t-тестів?

AДисперсійний аналіз завжди знаходить більші ефекти, ніж еквівалентний набір t-тестів
Bt-тестам потрібні якісні дані
CКілька t-тестів роздувають загальну ймовірність помилки I роду
Dt-тести не працюють із числами понад 100

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 24, 21, 44, 34, 29, 43, 34.

n = 7

s =

4.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 82.

μ = 70σ = 20x = 82

z =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,3, 0,15, 0,3, 0,1

σ =

6.ІмовірністьСкладна

Тест має 12 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,5, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?

n = 12p = 0,5k = 5

P =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 174,5 і 181,85 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 174,5x₂ = 181,85

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 21 елементів має середнє 50 і стандартне відхилення s = 11,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 21x̄ = 50s = 11,599%t(20) = 2,845

нижня межа =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 10 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 3,9 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 9 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 2,7 і 2,5 % — вище від 19,023.

n = 10s = 3,9 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 36 студентів має середній бал 47 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 47s = 10n = 36

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 135 з 300 пацієнтів, які отримували лікування A, і 50 з 120 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 135n₁ = 300x₂ = 50n₂ = 120

z =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 20?

n = 5ŷ = 20

x =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1602 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,01, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 2003 × 2α = 0,01

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Залучення до збирання даних дослідника, який не знає гіпотези чи умов

Чому це відповідь

Експериментатори, які знають гіпотезу, можуть ненавмисно впливати на учасників чи записи. Одинарні чи подвійні сліпі процедури та стандартизовані інструкції це зменшують.

Відповідь

A · Залучення до збирання даних дослідника, який не знає гіпотези чи умов

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Кілька t-тестів роздувають загальну ймовірність помилки I роду

Чому це відповідь

Багато попарних тестів множать шанс хибнопозитивного результату. ANOVA перевіряє всі групи разом, після чого виконують скориговані post hoc тести.

Відповідь

C · Кілька t-тестів роздувають загальну ймовірність помилки I роду

3.Описова статистика

Відповідь: s = 8,789

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 229/7 = 32,71

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−8,714)² + (−11,71)² + 11,29² + 1,286² + (−3,714)² + 10,29² + 1,286² = 463,4

Стандартне відхилення

s = √(463,4/6) = 8,789

Відповідь

s = 8,789

4.Описова статистика

Відповідь: z = 0,6

Стандартизуйте

z = (82 − 70)/20 = 0,6

Відповідь

z = 0,6

5.Імовірність

Відповідь: σ = 1,261

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,15 + 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,1 = 1,9

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,1 = 5,2

Дисперсія

Var(X) = 5,2 − 1,9² = 1,59

σ = √1,59 = 1,261

Відповідь

σ = 1,261

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,1934

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 5) = 792·0,5⁵·0,5⁷ = 792·0,03125·0,007813 = 0,1934

Відповідь

P = 0,1934

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,4003

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (174,5 − 178)/7 = −0,5

z₂ = (181,85 − 178)/7 = 0,55

Площа між

P = Φ(0,55) − Φ(−0,5) = 0,7088 − 0,3085 = 0,4003

Відповідь

P = 0,4003

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9515

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Відповідь

P = 0,9515

9.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 42,86

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Похибка оцінки

E = 2,845·11,5/√21 = 7,14

Інтервал

50 ± 7,14 → [42,86, 57,14]

Відповідь

нижня межа = 42,86

10.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 7,12 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 9·3,9² = 136,9

Межі для σ²

136,9/19,023 = 7,196

136,9/2,7 = 50,7

Межа для σ

σ = √50,7 = 7,12 µm

Відповідь

σ = 7,12 µm

95 % інтервал для σ: [2,683, 7,12] µm.

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,8

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Статистика критерію

t = (47 − 50)/1,667 = −1,8

Відповідь

t = −1,8

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 0,6216

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Вибіркові частки

p̂₁ = 135/300 = 0,45

p̂₂ = 50/120 = 0,4167

p̂ = 185/420 = 0,4405

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,4405·0,5595·(1/300 + 1/120)) = 0,05362

Статистика критерію

z = (0,45 − 0,4167)/0,05362 = 0,6216

Відповідь

z = 0,6216

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9552

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 676/6 = 112,7

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 370

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2047

Коефіцієнт детермінації

r² = 370²/(70·2047) = 0,9552

Відповідь

r² = 0,9552

Близько 95,52% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 1,667

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 84/5 = 16,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

Лінія регресії

b = −24/10 = −2,4

a = 16,8 − (−2,4)·3 = 24

ŷ = 24 − 2,4·x

Розв’яжіть щодо x

x = (20 − 24)/(−2,4) = 1,667

Відповідь

x = 1,667

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 20,12

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

курці: 80·112/160 = 56, 80·48/160 = 24

некурці: 80·112/160 = 56, 80·48/160 = 24

Статистика хі-квадрат

χ² = (69 − 56)²/56 + (11 − 24)²/24 + (43 − 56)²/56 + (37 − 24)²/24

χ² = 20,12

Відповідь

χ² = 20,12

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 8,167

Очікувані частоти

лінія 1: 20, 20

лінія 2: 50, 50

лінія 3: 30, 30

Статистика хі-квадрат

χ² = (27 − 20)²/20 + (13 − 20)²/20 + (50 − 50)²/50 + (50 − 50)²/50 + (23 − 30)²/30 + (37 − 30)²/30

χ² = 8,167

Рішення

df = 2, χ²_crit = 9,210

8,167 < 9,210

Відповідь

χ² = 8,167

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology