Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Щоб отримати вибірку з такими самими частками студентів першого, другого й третього курсів, як у популяції університету, дослідник має використати:

AВибірку добровольців
BДоступну вибірку
CВибірку «сніжної кулі»
DСтратифіковану вибірку

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник проводить 20 аналізів на одному наборі даних і повідомляє лише про той, де p < 0,05. Цю практику називають:

AПопередньою реєстрацією
BКонтрбалансуванням
CТріангуляцією
DP-hacking

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 20, 22, 27, 27, 19, 55.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 25. Яка частка P значень більша за 480?

μ = 500σ = 25x = 480

P =

5.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 4 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 4

P =

6.ІмовірністьСкладна

Тестують 10 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,5. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 10p = 0,5

P =

7.Нормальний розподілСередня

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 76 і 107,5 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 100σ = 15x₁ = 76x₂ = 107,5

P =

8.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

9.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 30 телефонів, середнє 111 h, відоме стандартне відхилення 3 h. Модель 2: 50 телефонів, середнє 108 h, відоме стандартне відхилення 5 h. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 111 hσ₁ = 3 hn₂ = 50x̄₂ = 108 hσ₂ = 5 h99%

верхня межа = h

10.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 6 ділянок, середній урожай 15 kg, стандартне відхилення 4,5 kg. Група ділянок 2: 16 ділянок, середнє 16 kg, стандартне відхилення 1 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 15s₁ = 4,5n₂ = 16x̄₂ = 16s₂ = 190%t(20) = 1,725

E = kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 80; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 20. Випадкова вибірка з 25 спостережень має середнє 87,84. Перевірте H₀: μ = 80 проти H₁: μ ≠ 80. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 80σ = 20n = 25x̄ = 87,84H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 80 проти H₁: μ > 80 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 12,5. Насправді середнє дорівнює 87,25. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.

μ₀ = 80μ = 87,25σ = 12,5n = 25α = 0,01

β = %

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (1,5, 23). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 23)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2002 × 2

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 3 рядками й 6 стовпцями (без урахування підсумків). Скільки ступенів вільності df має критерій?

3 × 6

df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Стратифіковану вибірку

Чому це відповідь

Стратифікована вибірка визначає підгрупи (страти) й випадково обирає учасників із кожної пропорційно її розміру в популяції, що робить вибірку репрезентативнішою.

Відповідь

D · Стратифіковану вибірку

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · P-hacking

Чому це відповідь

P-hacking використовує гнучкість аналізу, щоб отримати значущість, підвищуючи частку хибнопозитивних результатів значно понад 5%. Попередня реєстрація та прозора звітність її зменшують.

Відповідь

D · P-hacking

3.Описова статистика

Відповідь: s = 13,5

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 170/6 = 28,33

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−8,333)² + (−6,333)² + (−1,333)² + (−1,333)² + (−9,333)² + 26,67² = 911,3

Стандартне відхилення

s = √(911,3/5) = 13,5

Відповідь

s = 13,5

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,7881

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Відповідь

P = 0,7881

5.Імовірність

Відповідь: P = 0,5177

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Відповідь

P = 0,5177

6.Імовірність

Відповідь: P = 0,01074

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,5¹⁰ = 0,0009766

P(X = 1) = 10·0,5·0,5⁹ = 0,009766

Додайте

P = 0,0009766 + 0,009766 = 0,01074

Відповідь

P = 0,01074

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6367

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (76 − 100)/15 = −1,6

z₂ = (107,5 − 100)/15 = 0,5

Площа між

P = Φ(0,5) − Φ(−1,6) = 0,6915 − 0,0548 = 0,6367

Відповідь

P = 0,6367

8.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9207

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02121 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,02121 = −1,41

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Відповідь

P = 0,9207

9.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 5,304 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 111 − 108 = 3

Стандартна похибка

SE = √(3²/30 + 5²/50) = 0,8944

Похибка оцінки

E = 2,576·0,8944 = 2,304

Інтервал

3 ± 2,304 → [0,696, 5,304]

Відповідь

верхня межа = 5,304 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

10.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 1,991 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (5·4,5² + 15·1²)/20 = 5,813

s_p = 2,411

Похибка оцінки

E = 1,725·2,411·√(1/6 + 1/16) = 1,991

Відповідь

E = 1,991 kg

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,05

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 20/√25 = 4

z = (87,84 − 80)/4 = 1,96

Площа хвоста

Φ(1,96) = 0,9750

1 − Φ(1,96) = 0,0250

p-значення

p = 2·0,0250 = 0,05

Відповідь

p = 0,05

p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: β = 28,3 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 12,5/√25 = 2,5

x̄_c = 80 + 2,326·2,5 = 85,81

z при справжньому середньому

z = (85,81 − 87,25)/2,5 = −0,574

Помилка другого роду

потужність = P(Z > −0,574) = 71,7%

β = 100% − 71,7% = 28,3%

Відповідь

β = 28,3%

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9485

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 332/5 = 66,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 625,2

Коефіцієнт кореляції

r = 150/√(40·625,2) = 0,9485

Відповідь

r = 0,9485

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −2,1

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 115/5 = 23

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14

Лінія регресії

b = −14/10 = −1,4

a = 23 − (−1,4)·3 = 27,2

ŷ = 27,2 − 1,4·x

Прогнозоване значення

ŷ = 27,2 + (−1,4)·1,5 = 25,1

Залишок

e = 23 − 25,1 = −2,1

Відповідь

e = −2,1

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 0,08791

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

новий препарат: 100·70/200 = 35, 100·130/200 = 65

плацебо: 100·70/200 = 35, 100·130/200 = 65

Статистика хі-квадрат

χ² = (36 − 35)²/35 + (64 − 65)²/65 + (34 − 35)²/35 + (66 − 65)²/65

χ² = 0,08791

Відповідь

χ² = 0,08791

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 10

Ступені вільності

df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10

Відповідь

df = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology