Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

У дослідженнях методом спостереження вибірка подій (event sampling) означає:

AФіксацію поведінки лише через фіксовані проміжки часу
BФіксацію кожного випадку певної поведінки
CВипадковий вибір учасників
DФіксацію лише тих подій, про які повідомляють учасники

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник маніпулює настроєм, показуючи сумний фільм, а потім просить учасників оцінити, наскільки сумно їм перед основним завданням. Навіщо включено цю оцінку?

AЯк основну залежну змінну дослідження
BЩоб провести з учасниками дебрифінг щодо цілей
CЩоб контрбалансувати порядок умов
DЯк перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 23, 16, 21, 36, 41.

n = 5

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень менша за 40?

μ = 50σ = 5x = 40

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,35, 0,35, 0,15

σ =

6.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €15 з імовірністю 0,15 і €60 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €3€15: p = 0,15€60: p = 0,02

E(G) = €

7.Нормальний розподілСередня

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 240 і 257,5 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 250σ = 5x₁ = 240x₂ = 257,5

P =

8.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 30% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm30%

x = cm

9.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 16 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 2,2 і стандартне відхилення 6,8. Знайдіть граничну похибку E 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 16d̄ = 2,2s_d = 6,895%t(15) = 2,131

E = mmHg

10.Довірчі інтервалиСкладна

Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,025?

p = 0,5E = 0,02595%

n =

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

15 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця −1,8, стандартне відхилення різниць 5,8. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 15d̄ = −1,8s_d = 5,8

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 4 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 27. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 95%δ = 4σ = 27z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 6.

n = 6x = 6

ŷ =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2402 × 3

χ² =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 7 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. За таблицею знайдіть критичне значення χ²_crit при рівні значущості α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Фіксацію кожного випадку певної поведінки

Чому це відповідь

Вибірка подій підраховує кожен випадок цільової поведінки. Часова вибірка фіксує, що відбувається через задані інтервали, як-от кожні 30 секунд.

Відповідь

B · Фіксацію кожного випадку певної поведінки

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: D · Як перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано

Чому це відповідь

Перевірка маніпуляції підтверджує, що НЗ викликала задуманий психологічний стан. Без неї нульовий результат міг би означати, що маніпуляція не вдалася.

Відповідь

D · Як перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано

3.Описова статистика

Відповідь: s = 10,6

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 137/5 = 27,4

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−4,4)² + (−11,4)² + (−6,4)² + 8,6² + 13,6² = 449,2

Стандартне відхилення

s = √(449,2/4) = 10,6

Відповідь

s = 10,6

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = −2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

5.Імовірність

Відповідь: σ = 9,22

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 10·0,15 + 20·0,35 + 30·0,35 + 40·0,15 = 25

Середнє квадратів

E(X²) = 100·0,15 + 400·0,35 + 900·0,35 + 1600·0,15 = 710

Дисперсія

Var(X) = 710 − 25² = 85

σ = √85 = 9,22

Відповідь

σ = 9,22

6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 0,45 €

Чисті результати

G: 12 (p = 0,15), 57 (p = 0,02), −3 (p = 0,83)

Математичне сподівання

E(G) = 12·0,15 + 57·0,02 − 3·0,83 = 0,45 €

Відповідь

E(G) = 0,45 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9104

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (240 − 250)/5 = −2

z₂ = (257,5 − 250)/5 = 1,5

Площа між

P = Φ(1,5) − Φ(−2) = 0,9332 − 0,02275 = 0,9104

Відповідь

P = 0,9104

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 174,4 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,3

z з таблиці

z ≈ −0,52

Назад до початкових одиниць

x = 178 − 0,52·7 = 174,4 cm

Відповідь

x = 174,4 cm

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 3,623 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 15, t = 2,131

Похибка оцінки

E = 2,131·6,8/√16 = 3,623

Відповідь

E = 3,623 mmHg

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 1537

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,025² = 1537

Округліть угору

n = 1537

Відповідь

n = 1537

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,202

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 5,8/√15 = 1,498

Статистика критерію

t = −1,8/1,498 = −1,202

Відповідь

t = −1,202

При df = 14 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,145; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 494

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 1,645)·27/4)² = 493,2

Округліть угору

n = 494

Відповідь

n = 494

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9681

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 331/5 = 66,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 464,8

Коефіцієнт кореляції

r = 132/√(40·464,8) = 0,9681

Відповідь

r = 0,9681

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 61,17

Середні

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 367/6 = 61,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 377

Лінія регресії

b = 377/70 = 5,386

a = 61,17 − 5,386·6 = 28,85

ŷ = 28,85 + 5,386·x

Прогноз

ŷ = 28,85 + 5,386·6 = 61,17

Відповідь

ŷ = 61,17

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 5,689

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

денна зміна: 120·48/240 = 24, 120·72/240 = 36, 120·120/240 = 60

нічна зміна: 120·48/240 = 24, 120·72/240 = 36, 120·120/240 = 60

Статистика хі-квадрат

χ² = (24 − 24)²/24 + (28 − 36)²/36 + (68 − 60)²/60 + (24 − 24)²/24 + (44 − 36)²/36 + (52 − 60)²/60

χ² = 5,689

Відповідь

χ² = 5,689

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ²_crit = 15,09

Ступені вільності

df = 7 − 1 − 1 = 5

Таблиця

χ²_crit(df = 5, α = 0,01) = 15,086

Відповідь

χ²_crit = 15,086

Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology