Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

У дослідженнях методом спостереження вибірка подій (event sampling) означає:

  1. AФіксацію лише тих подій, про які повідомляють учасники
  2. BФіксацію кожного випадку певної поведінки
  3. CВипадковий вибір учасників
  4. DФіксацію поведінки лише через фіксовані проміжки часу
2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник маніпулює настроєм, показуючи сумний фільм, а потім просить учасників оцінити, наскільки сумно їм перед основним завданням. Навіщо включено цю оцінку?

  1. AЯк перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано
  2. BЩоб контрбалансувати порядок умов
  3. CЩоб провести з учасниками дебрифінг щодо цілей
  4. DЯк основну залежну змінну дослідження
3.Описова статистикаСередня
152025303540455055

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 36, 14, 43, 57, 51, 44.

n = 6
s =
4.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень більша за 90?

μ = 100σ = 5x = 90
P =
5.ІмовірністьСередня
P(принаймні одна шістка) = ??1?2?3?4?5P(шістка) = 1/6 за кожного кидка

Правильний кубик кидають 5 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 5
P =
6.ІмовірністьСкладна
€p(x)−20,7480,25380,01

Участь у грі коштує €2. Ви виграєте €10 з імовірністю 0,25 і €40 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €2€10: p = 0,25€40: p = 0,01
E(G) = €
7.Нормальний розподілСередня
166,8181,85P = ?

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 166,8 і 181,85 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x1 = 166,8x2 = 181,85
P =
8.Нормальний розподілСкладна
μ = 100x = ?99%

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 99 % значень (99-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 99%
x = балів
9.Довірчі інтервалиСередня
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?95%

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 60 телефонів, середнє 140 h, відоме стандартне відхилення 4 h. Модель 2: 30 телефонів, середнє 152,5 h, відоме стандартне відхилення 13 h. Знайдіть граничну похибку E 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 140 hσ₁ = 4 hn₂ = 30x̄₂ = 152,5 hσ₂ = 13 h95%
E = h
10.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 390%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 20. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?

σ = 20E = 390%
n =
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
−2,1312,131t = ?df = 15

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 8 студентів, середній бал 31,5, стандартне відхилення 8,5. Група 2: 9 студентів, середній бал 38,7, стандартне відхилення 11. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 8x̄₁ = 31,5s₁ = 8,5n₂ = 9x̄₂ = 38,7s₂ = 11
t =
12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
z −2,57602,576

Вибірка з 49 вимірювань має середнє 495,7. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 15. Знайдіть нижню межу L 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 495,7σ = 15n = 4999%
L =
13.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy24845866887410821294xy5106080

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 42Σy = 424Σx² = 364Σy² = 31328Σxy = 3276
r =
14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy126225325421523xy24222426x = 2,5

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 2,5.

n = 5x = 2,5
ŷ =
15.Критерії хі-квадратСередня
без дефектунезначнийзначнийРазомденна зміна252550100нічна зміна1717640Разом424256140

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1402 × 3
χ² =
16.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій узгодженості хі-квадрат порівнює спостережувані частоти в 7 категоріях з повністю заданими очікуваними частками (жодних параметрів з даних не оцінюють). Скільки ступенів вільності df має критерій?

k = 7
df =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Фіксацію кожного випадку певної поведінки

Чому це відповідь

Вибірка подій підраховує кожен випадок цільової поведінки. Часова вибірка фіксує, що відбувається через задані інтервали, як-от кожні 30 секунд.

Відповідь

B · Фіксацію кожного випадку певної поведінки
2.Методи досліджень у психології

Відповідь: A · Як перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано

Чому це відповідь

Перевірка маніпуляції підтверджує, що НЗ викликала задуманий психологічний стан. Без неї нульовий результат міг би означати, що маніпуляція не вдалася.

Відповідь

A · Як перевірку маніпуляції, щоб підтвердити, що НЗ спрацювала як задумано
3.Описова статистика

Відповідь: s = 14,99

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 245/6 = 40,83

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−4,833)² + (−26,83)² + 2,167² + 16,17² + 10,17² + 3,167² = 1123

Стандартне відхилення

s = √(1123/5) = 14,99

Відповідь

s = 14,99
4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9772

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = −2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Відповідь

P = 0,9772
5.Імовірність

Відповідь: P = 0,5981

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Відповідь

P = 0,5981
6.Імовірність

Відповідь: E(G) = 0,9 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 8 (p = 0,25), 38 (p = 0,01), −2 (p = 0,74)

Математичне сподівання

E(G) = 8·0,25 + 38·0,01 − 2·0,74 = 0,9 €

Відповідь

E(G) = 0,9 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,654

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (166,8 − 178)/7 = −1,6
z₂ = (181,85 − 178)/7 = 0,55

Площа між

P = Φ(0,55) − Φ(−1,6) = 0,7088 − 0,0548 = 0,654

Відповідь

P = 0,654
8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 134,9 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Назад до x

x = 100 + 2,326·15 = 134,89 балів

Відповідь

x = 134,89 балів
9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 4,761 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 140 − 152,5 = −12,5

Стандартна похибка

SE = √(4²/60 + 13²/30) = 2,429

Похибка оцінки

E = 1,96·2,429 = 4,761

Відповідь

E = 4,761 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

10.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 121

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,645·20/3)² = 120,3

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 121

Відповідь

n = 121
11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,495

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

sp² = (7·8,5² + 8·11²)/15 = 98,25
sp = 9,912

Стандартна похибка

SE = 9,912·√(1/8 + 1/9) = 4,816

Статистика критерію

t = (31,5 − 38,7)/4,816 = −1,495

Відповідь

t = −1,495

При df = 15 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,131; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 490,2

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 2,576·15/√49 = 5,52

Межа інтервалу

L = 495,7 − 5,52 = 490,2

Відповідь

L = 490,2
13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9963

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 3276 − 42·424/6 = 308
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 31328 − 424²/6 = 1365

Коефіцієнт кореляції

r = 308/√(70·1365) = 0,9963

Відповідь

r = 0,9963
14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 24,5

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 120/5 = 24

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −10

Лінія регресії

b = −10/10 = −1
a = 24 − (−1)·3 = 27
ŷ = 27 − 1·x

Прогноз

ŷ = 27 + (−1)·2,5 = 24,5

Відповідь

ŷ = 24,5
15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 14,58

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

денна зміна: 100·42/140 = 30, 100·42/140 = 30, 100·56/140 = 40
нічна зміна: 40·42/140 = 12, 40·42/140 = 12, 40·56/140 = 16

Статистика хі-квадрат

χ² = (25 − 30)²/30 + (25 − 30)²/30 + (50 − 40)²/40 + (17 − 12)²/12 + (17 − 12)²/12 + (6 − 16)²/16
χ² = 14,58

Відповідь

χ² = 14,58

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 6

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Ступені вільності

df = 7 − 1 = 6

Відповідь

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology