Методи досліджень і статистика в психології: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Методи досліджень у психологіїСередня

Дослідник хоче перевірити, чи є зв'язок між статтю (чоловіча/жіноча) і улюбленим жанром фільмів (чотири категорії). Який тест доречний?

AПарний t-тест
BОднофакторний ANOVA
CТест хі-квадрат на незалежність
DКореляція Пірсона

2.Методи досліджень у психологіїСкладна

Дослідник виявляє, що продаж морозива й кількість смертей через утоплення позитивно корелюють. Яке пояснення найправдоподібніше?

AМорозиво спричиняє утоплення
BСпекотна погода збільшує і продаж морозива, і купання
CУтоплення збільшують продаж морозива
DКореляція, напевно, — помилка обчислень

3.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 38, 36, 57, 51, 26, 11.

n = 6

s =

4.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень більша за 178?

μ = 170σ = 20x = 178

P =

5.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,2, 0,35, 0,2, 0,15

Var(X) =

6.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 0,5X + 1. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,25, 0,15, 0,2, 0,1Y = 0,5X + 1

σ_Y =

7.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,8198. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,8198

z =

8.Нормальний розподілСкладна

строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 85% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 500 hσ = 40 h85%

x = h

9.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 21 елементів має середнє 35,5 і стандартне відхилення s = 5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 21x̄ = 35,5s = 599%t(20) = 2,845

E =

10.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 21 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 4,4 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 20 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 9,591 і 2,5 % — вище від 34,17.

n = 21s = 4,4 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 студентів має середній бал 499,1 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 499,1s = 5n = 25

t =

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 100 вимірювань має середнє 73,6. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть нижню межу L 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 73,6σ = 5n = 10099%

L =

13.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

14.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (27,5, 129). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(27,5, 129)

e =

15.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Для критерію незалежності хі-квадрат знайдіть очікувану частоту E для клітинки «сільські, високий».

сума рядка = 47сума стовпця = 56N = 146

E =

16.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 1603 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Методи досліджень у психології

Відповідь: C · Тест хі-квадрат на незалежність

Чому це відповідь

Тест хі-квадрат порівнює спостережувані частоти з очікуваними в таблиці спряженості, щоб перевірити, чи пов'язані дві категоріальні змінні.

Відповідь

C · Тест хі-квадрат на незалежність

2.Методи досліджень у психології

Відповідь: B · Спекотна погода збільшує і продаж морозива, і купання

Чому це відповідь

Третя змінна, температура, спричиняє обидва явища. Це ілюструє, чому сама лише кореляція не може довести причинності.

Відповідь

B · Спекотна погода збільшує і продаж морозива, і купання

3.Описова статистика

Відповідь: s = 16,69

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 219/6 = 36,5

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 1,5² + (−0,5)² + 20,5² + 14,5² + (−10,5)² + (−25,5)² = 1394

Стандартне відхилення

s = √(1394/5) = 16,69

Відповідь

s = 16,69

4.Описова статистика

Відповідь: P = 0,3446

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Відповідь

P = 0,3446

5.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 1,39

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,1 + 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,2 + 4·0,15 = 2,1

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,2 + 16·0,15 = 5,8

Дисперсія

Var(X) = 5,8 − 2,1² = 1,39

Відповідь

Var(X) = 1,39

6.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 0,6796

Розкид X

μ = 2,55, Var(X) = 1,848, σ_X = 1,359

Лінійна зміна

σ_Y = |0,5|·1,359 = 0,6796

Відповідь

σ_Y = 0,6796

Середнє таки зсувається: E(Y) = 0,5·2,55 + 1 = 2,275.

7.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,34

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,8198)/2 = 0,9099

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9099 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,34

Відповідь

z = 1,34

8.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 542 h

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,85

z з таблиці

z ≈ 1,04

Назад до початкових одиниць

x = 500 + 1,04·40 = 542 h

Відповідь

x = 542 h

9.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 3,104

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Похибка оцінки

E = 2,845·5/√21 = 3,104

Відповідь

E = 3,104

10.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 6,354 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 20·4,4² = 387,2

Межі для σ²

387,2/34,17 = 11,33

387,2/9,591 = 40,37

Межа для σ

σ = √40,37 = 6,354 µm

Відповідь

σ = 6,354 µm

95 % інтервал для σ: [3,366, 6,354] µm.

11.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,9

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Статистика критерію

t = (499,1 − 500)/1 = −0,9

Відповідь

t = −0,9

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

12.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 72,31

Похибка оцінки

E = 2,576·5/√100 = 1,288

Межа інтервалу

L = 73,6 − 1,288 = 72,31

Відповідь

L = 72,31

13.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9729

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 81/6 = 13,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 113

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 187,5

Коефіцієнт детермінації

r² = 113²/(70·187,5) = 0,9729

Відповідь

r² = 0,9729

Близько 97,29% варіації y пояснюється прямою.

14.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −3,75

Середні

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 552/5 = 110,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 447

Лінія регресії

b = 447/90 = 4,967

a = 110,4 − 4,967·23 = −3,833

ŷ = −3,833 + 4,967·x

Прогнозоване значення

ŷ = −3,833 + 4,967·27,5 = 132,8

Залишок

e = 129 − 132,8 = −3,75

Відповідь

e = −3,75

Точка лежить нижче прямої.

15.Критерії хі-квадрат

Відповідь: E = 18,03

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувана частота

E = 47·56/146 = 18,03

Відповідь

E = 18,03

16.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 5,893

Очікувані частоти

лінія 1: 24, 56

лінія 2: 12, 28

лінія 3: 12, 28

Статистика хі-квадрат

χ² = (19 − 24)²/24 + (61 − 56)²/56 + (11 − 12)²/12 + (29 − 28)²/28 + (18 − 12)²/12 + (22 − 28)²/28

χ² = 5,893

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

5,893 < 5,991

Відповідь

χ² = 5,893

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology