Giải tích 1: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 8 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giới hạn

Thay trực tiếp
thử x = a trước; 0/0 nghĩa là cần rút gọn
Phân tích thành nhân tử và giản ước
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Biểu thức liên hợp
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Giới hạn tại vô cực
chia cho lũy thừa cao nhất của x; bậc bằng nhau cho tỉ số các hệ số cao nhất
Giới hạn đặc biệt
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Quy tắc L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Đạo hàm

Quy tắc lũy thừa
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Quy tắc tích
(uv)′ = u′v + uv′
Quy tắc thương
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Quy tắc dây chuyền
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Các đạo hàm thường gặp
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Phương pháp

  1. Xác định cấu trúc: tổng, tích, thương hay hàm hợp.
  2. Áp dụng quy tắc lũy thừa cho từng lũy thừa của x.
  3. Dùng quy tắc tích, thương hoặc dây chuyền khi cần.
  4. Rút gọn, và tính giá trị tại điểm nếu được yêu cầu.

Tối ưu hóa

Phương pháp
viết Q(x) theo một biến, giải Q′(x) = 0, kiểm tra Q″ hoặc các điểm biên
Cực đại
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Cực tiểu
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Hình trụ kín
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lợi nhuận
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Tích phân

Quy tắc lũy thừa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Tích phân xác định
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Các tích phân thường gặp
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Diện tích giữa các đường cong
∫ab (f − g) dx

Phương pháp

  1. Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
  2. Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho ex, 1/x, sin và cos.
  3. Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
  4. Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).

2Bài tập

1.Giới hạnTrung bình
xyy = L

Tìm giới hạn L = limx→∞ (√(9x2 + 5x) − 3x).

f(x) = √(9x2 + 5x) − 3xx → ∞
L =
2.Giới hạnKhó
xyx = 0

Tìm giới hạn L = limx→0 (1 − cos 2x)/(3x²), với x tính bằng radian.

f(x) = (1 − cos 2x)/(3x²)x → 0
L =
3.Đạo hàmTrung bình
xyx = 2

Cho f(x) = x·e0,5x. Tìm f′(2).

f(x) = x·e0,5xx = 2
f′(2) =
4.Đạo hàmKhó
xy

Cho f(x) = x3 − 1,5x2 − 6x − 1. Tìm hoành độ x của điểm cực đại địa phương.

f(x) = x3 − 1,5x2 − 6x − 1
x =
5.Tối ưu hóaTrung bình
xhxkhông nắp

Một chiếc hộp hở (không nắp) có đáy vuông phải chứa được 500 cm³. Dùng ít vật liệu nhất có thể, tức là tổng diện tích đáy và bốn mặt bên nhỏ nhất. Tìm diện tích bề mặt nhỏ nhất S.

V = 500 cm³
S = cm²
6.Tối ưu hóaKhó
qP(q)cực đại

Một công ty bán q sản phẩm mỗi tuần. Giá có thể bán là p = 170 − 0,25q euro mỗi sản phẩm, và chi phí là C(q) = 2600 + 90q euro. Tìm sản lượng hằng tuần q để lợi nhuận lớn nhất.

p = 170 − 0,25qC = 2600 + 90q
q = đơn vị
7.Tích phânTrung bình
xyπy = x·sin x

Tính I = ∫₀π x·sin x dx (x tính theo radian).

∫₀π x·sin x dx
I =
8.Tích phânKhó
xy−11

Tìm diện tích A của miền giữa parabol y = 1 − x² và trục x.

y = 1 − x²
A =

3Dung dịch

1.Giới hạn

Đáp số: L = 0,8333

Giới hạn: trước hết thử thay trực tiếp. Nếu cho 0/0, hãy rút gọn trước: phân tích thành nhân tử và giản ước thừa số chung, hoặc nhân với biểu thức liên hợp. Khi x → ∞, chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của x. Quy tắc L'Hôpital: nếu f/g cho 0/0 hoặc ∞/∞, thì lim f/g = lim f′/g′, lấy đạo hàm tử số và mẫu số riêng rẽ (không dùng quy tắc thương).

Nhân với biểu thức liên hợp

f(x) = 5x/(√(9x2 + 5x) + 3x)

Chia cho x

f(x) = 5/(√(9 + 5/x) + 3)

Cho x → ∞

L = 5/(3 + 3) = 0,8333

Đáp số

L = 0,8333
2.Giới hạn

Đáp số: L = 0,6667

Giới hạn: trước hết thử thay trực tiếp. Nếu cho 0/0, hãy rút gọn trước: phân tích thành nhân tử và giản ước thừa số chung, hoặc nhân với biểu thức liên hợp. Khi x → ∞, chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của x. Quy tắc L'Hôpital: nếu f/g cho 0/0 hoặc ∞/∞, thì lim f/g = lim f′/g′, lấy đạo hàm tử số và mẫu số riêng rẽ (không dùng quy tắc thương).

Áp dụng lần thứ nhất

2·sin 2x/(6x) → 0/0

Áp dụng lần thứ hai

4·cos 2x/6

Thay x = 0

L = 4/6 = 0,6667

Đáp số

L = 0,6667
3.Đạo hàm

Đáp số: f′(2) = 5,437

Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.

Quy tắc tích

f′(x) = u′v + uv′ = e0,5x·(1 + 0,5·x)

Thay giá trị

f′(2) = 2,718·(1 + 1) = 5,437

Đáp số

f′(2) = 5,437
4.Đạo hàm

Đáp số: x = −1

Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.

Đạo hàm

f′(x) = 3x2 − 3x − 6 = 3·(x2 − x − 2)

Giải f′(x) = 0

x = −1 hoặc x = 2

Điểm nào là điểm nào

f″(x) = 6x − 3: âm tại cực đại, dương tại cực tiểu.

f″(−1) = −9, f″(2) = 9
x = −1

Đáp số

x = −1
5.Tối ưu hóa

Đáp số: S = 300 cm²

Tối ưu hóa: viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của một biến, dùng điều kiện ràng buộc để khử biến còn lại. Cho đạo hàm bằng 0 và giải. Kiểm tra điểm tới hạn là cực đại hay cực tiểu (dùng đạo hàm cấp hai hoặc sự đổi dấu của đạo hàm cấp một) và nằm trong khoảng cho phép; một đầu mút như cạnh có độ dài bằng 0 không phải là đáp án.

Diện tích theo x

S(x) = x² + 2000/x

Cho đạo hàm bằng không

S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0, nên đây là cực tiểu.

x³ = 1000 → x = 10 cm

Chiều cao và diện tích

h = 500/10² = 5 cm
S = 10² + 2000/10 = 300 cm²

Đáp số

S = 300 cm²

Hộp hở tốt nhất có chiều cao bằng một nửa cạnh đáy.

6.Tối ưu hóa

Đáp số: q = 160 đơn vị

Tối ưu hóa: viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của một biến, dùng điều kiện ràng buộc để khử biến còn lại. Cho đạo hàm bằng 0 và giải. Kiểm tra điểm tới hạn là cực đại hay cực tiểu (dùng đạo hàm cấp hai hoặc sự đổi dấu của đạo hàm cấp một) và nằm trong khoảng cho phép; một đầu mút như cạnh có độ dài bằng 0 không phải là đáp án.

Hàm lợi nhuận

P(q) = (170 − 0,25q)·q − (2600 + 90q) = −0,25q2 + 80q − 2600

Cho đạo hàm bằng không

P″(q) = −0,5 < 0, nên đây là cực đại.

q = 80/0,5 = 160

Giá và lợi nhuận

p = 170 − 0,25·160 = €130
P = 80·160 − 0,25·160² − 2600 = €3800

Đáp số

q = 160
7.Tích phân

Đáp số: I = 3,142

Tích phân từng phần: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, suy ra từ quy tắc tích. Chọn u là thừa số trở nên đơn giản hơn khi đạo hàm (một lũy thừa của x, hoặc ln x), và dv là thừa số bạn có thể tích phân (eˣ, sin x, cos x, hoặc x khi u = ln x). Với tích phân xác định, tính u·v tại cả hai cận: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Thừa số x² cần hai lần.

Chọn u và dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Nguyên hàm

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Giới hạn

(−π·cos π + sin π) − (0 + 0) = 3,142

Đáp số

I = 3,142
8.Tích phân

Đáp số: A = 1,333

Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.

Các nghiệm

1 − x² = 0 → x = ±1

Lấy tích phân

A = [1x − x³/3]−11 = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Đáp số

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1