Giải tích 1: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 8 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giới hạn

Thay trực tiếp
thử x = a trước; 0/0 nghĩa là cần rút gọn
Phân tích thành nhân tử và giản ước
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Biểu thức liên hợp
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Giới hạn tại vô cực
chia cho lũy thừa cao nhất của x; bậc bằng nhau cho tỉ số các hệ số cao nhất
Giới hạn đặc biệt
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Quy tắc L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Đạo hàm

Quy tắc lũy thừa
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Quy tắc tích
(uv)′ = u′v + uv′
Quy tắc thương
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Quy tắc dây chuyền
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Các đạo hàm thường gặp
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Phương pháp

  1. Xác định cấu trúc: tổng, tích, thương hay hàm hợp.
  2. Áp dụng quy tắc lũy thừa cho từng lũy thừa của x.
  3. Dùng quy tắc tích, thương hoặc dây chuyền khi cần.
  4. Rút gọn, và tính giá trị tại điểm nếu được yêu cầu.

Tối ưu hóa

Phương pháp
viết Q(x) theo một biến, giải Q′(x) = 0, kiểm tra Q″ hoặc các điểm biên
Cực đại
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Cực tiểu
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Hình trụ kín
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lợi nhuận
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Tích phân

Quy tắc lũy thừa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Tích phân xác định
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Các tích phân thường gặp
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Diện tích giữa các đường cong
∫ab (f − g) dx

Phương pháp

  1. Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
  2. Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho ex, 1/x, sin và cos.
  3. Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
  4. Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).

2Bài tập

1.Giới hạnTrung bình
xyy = L

Tìm giới hạn L = limx→∞ (3x2 − 1)/(3x2 + x + 3).

f(x) = (3x2 − 1)/(3x2 + x + 3)x → ∞
L =
2.Giới hạnKhó
xyx = 0

Tìm giới hạn L = limx→0 (1 − cos 3x)/(x²), với x tính bằng radian.

f(x) = (1 − cos 3x)/(x²)x → 0
L =
3.Đạo hàmTrung bình
xyx = −1

Cho f(x) = (2x + 5)4. Tìm f′(−1).

f(x) = (2x + 5)4x = −1
f′(−1) =
4.Đạo hàmKhó
xy

Cho f(x) = x3 − 10,5x2 + 36x + 2. Tìm hoành độ x của điểm cực đại địa phương.

f(x) = x3 − 10,5x2 + 36x + 2
x =
5.Tối ưu hóaTrung bình
phía mặt đường: €20/m€10/myyx

Một mảnh đất hình chữ nhật diện tích 300 m² được rào cả bốn phía. Cạnh dọc theo mặt đường, dài x, tốn €20 mỗi mét; ba cạnh còn lại tốn €10 mỗi mét. Tìm tổng chi phí nhỏ nhất C.

A = 300 m²€20/m€10/m
C = €
6.Tối ưu hóaKhó
qP(q)cực đại

Một doanh nghiệp nhỏ bán sản phẩm với giá thị trường cố định €30 mỗi sản phẩm. Sản xuất q sản phẩm tốn chi phí C(q) = 7300 + 8q + 0,01q² euro. Tìm lợi nhuận lớn nhất P.

p = €30C = 7300 + 8q + 0,01q²
P = €
7.Tích phânTrung bình
xyπ/3y = x·cos x

Tính I = ∫₀π/3 x·cos x dx (x tính theo radian).

∫₀π/3 x·cos x dx
I =
8.Tích phânKhó
xy1y = xy = x²

Miền giữa đường thẳng y = x và parabol y = x² được quay quanh trục x. Tìm thể tích V của vật thể.

y = xy = x²
V =

3Dung dịch

1.Giới hạn

Đáp số: L = 1

Giới hạn: trước hết thử thay trực tiếp. Nếu cho 0/0, hãy rút gọn trước: phân tích thành nhân tử và giản ước thừa số chung, hoặc nhân với biểu thức liên hợp. Khi x → ∞, chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của x. Quy tắc L'Hôpital: nếu f/g cho 0/0 hoặc ∞/∞, thì lim f/g = lim f′/g′, lấy đạo hàm tử số và mẫu số riêng rẽ (không dùng quy tắc thương).

Chia cho lũy thừa bậc cao nhất

(3 + (−1)/x2)/(3 + 1/x + 3/x2)

Cho x → ∞

L = 3/3 = 1

Đáp số

L = 1

Khi bậc bằng nhau, giới hạn bằng tỉ số của các hệ số cao nhất.

2.Giới hạn

Đáp số: L = 4,5

Giới hạn: trước hết thử thay trực tiếp. Nếu cho 0/0, hãy rút gọn trước: phân tích thành nhân tử và giản ước thừa số chung, hoặc nhân với biểu thức liên hợp. Khi x → ∞, chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của x. Quy tắc L'Hôpital: nếu f/g cho 0/0 hoặc ∞/∞, thì lim f/g = lim f′/g′, lấy đạo hàm tử số và mẫu số riêng rẽ (không dùng quy tắc thương).

Áp dụng lần thứ nhất

3·sin 3x/(2x) → 0/0

Áp dụng lần thứ hai

9·cos 3x/2

Thay x = 0

L = 9/2 = 4,5

Đáp số

L = 4,5
3.Đạo hàm

Đáp số: f′(−1) = 216

Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.

Quy tắc dây chuyền

f′(x) = 4·(2x + 5)3·2

Thay giá trị

f′(−1) = 4·33·2 = 216

Đáp số

f′(−1) = 216
4.Đạo hàm

Đáp số: x = 3

Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.

Đạo hàm

f′(x) = 3x2 − 21x + 36 = 3·(x2 − 7x + 12)

Giải f′(x) = 0

x = 3 hoặc x = 4

Điểm nào là điểm nào

f″(x) = 6x − 21: âm tại cực đại, dương tại cực tiểu.

f″(3) = −3, f″(4) = 3
x = 3

Đáp số

x = 3
5.Tối ưu hóa

Đáp số: C = 848,5 €

Tối ưu hóa: viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của một biến, dùng điều kiện ràng buộc để khử biến còn lại. Cho đạo hàm bằng 0 và giải. Kiểm tra điểm tới hạn là cực đại hay cực tiểu (dùng đạo hàm cấp hai hoặc sự đổi dấu của đạo hàm cấp một) và nằm trong khoảng cho phép; một đầu mút như cạnh có độ dài bằng 0 không phải là đáp án.

Chi phí theo x

C(x) = 30x + 6000/x

Cho đạo hàm bằng không

C″(x) = 12000/x³ > 0, nên đây là cực tiểu.

x = √(6000/30) = 14,14 m
y = 300/14,14 = 21,21 m

Chi phí nhỏ nhất

C = 30·14,14 + 6000/14,14 = €848,5

Đáp số

C = €848,5
6.Tối ưu hóa

Đáp số: P = 4800 €

Tối ưu hóa: viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của một biến, dùng điều kiện ràng buộc để khử biến còn lại. Cho đạo hàm bằng 0 và giải. Kiểm tra điểm tới hạn là cực đại hay cực tiểu (dùng đạo hàm cấp hai hoặc sự đổi dấu của đạo hàm cấp một) và nằm trong khoảng cho phép; một đầu mút như cạnh có độ dài bằng 0 không phải là đáp án.

Hàm lợi nhuận

P(q) = 30q − (7300 + 8q + 0,01q²) = −0,01q2 + 22q − 7300

Cho đạo hàm bằng không

P″(q) = −0,02 < 0, nên đây là cực đại.

22 − 0,02q = 0 → q = 1100

Lợi nhuận lớn nhất

P = 22·1100 − 0,01·1100² − 7300 = €4800

Đáp số

P = €4800
7.Tích phân

Đáp số: I = 0,4069

Tích phân từng phần: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, suy ra từ quy tắc tích. Chọn u là thừa số trở nên đơn giản hơn khi đạo hàm (một lũy thừa của x, hoặc ln x), và dv là thừa số bạn có thể tích phân (eˣ, sin x, cos x, hoặc x khi u = ln x). Với tích phân xác định, tính u·v tại cả hai cận: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Thừa số x² cần hai lần.

Chọn u và dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Nguyên hàm

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Giới hạn

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0,4069

Đáp số

I = 0,4069
8.Tích phân

Đáp số: V = 0,4189

Thể tích tròn xoay: quay miền dưới y = f(x) từ x = a đến x = b quanh trục x tạo ra một vật thể có mặt cắt tại x là một đĩa bán kính f(x). Cộng các đĩa lại cho V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Khi miền nằm giữa một đường cong ngoài R(x) và một đường cong trong r(x), mỗi lát cắt là một vòng đệm: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Bình phương các bán kính trước khi trừ chúng.

Các giao điểm

1x = 1x² → x = 0, x = 1

Phương pháp vòng đệm

V = π∫₀1 ((1x)² − (1x²)²) dx

Lấy tích phân

V = π(1·1³/3 − 1·1⁵/5) = π·0,1333 = 0,4189

Đáp số

V = 0,4189

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1