Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 8 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
Tìm giới hạn L = limx→∞ (x2 − 6x + 4)/(4x2 + x + 7).
Tìm giới hạn L = limx→0 ln(1 + 4x)/sin(3x), với x tính bằng radian.
Cho f(x) = x·sin(2x), với x theo radian. Tìm f′(1).
Cho f(x) = x3 − 10,5x2 + 30x + 1. Tìm hoành độ x của điểm cực đại địa phương.
Một chiếc hộp hở (không nắp) có đáy vuông phải chứa được 32000 cm³. Dùng ít vật liệu nhất có thể, tức là tổng diện tích đáy và bốn mặt bên nhỏ nhất. Tìm chiều cao h.
Một doanh nghiệp nhỏ bán sản phẩm với giá thị trường cố định €20 mỗi sản phẩm. Sản xuất q sản phẩm tốn chi phí C(q) = 400 + 4q + 0,1q² euro. Tìm lợi nhuận lớn nhất P.
Tính I = ∫01 ex dx.
Tính I = ∫₀2 x²·eˣ dx.
Đáp số: L = 0,25
Giới hạn: trước hết thử thay trực tiếp. Nếu cho 0/0, hãy rút gọn trước: phân tích thành nhân tử và giản ước thừa số chung, hoặc nhân với biểu thức liên hợp. Khi x → ∞, chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của x. Quy tắc L'Hôpital: nếu f/g cho 0/0 hoặc ∞/∞, thì lim f/g = lim f′/g′, lấy đạo hàm tử số và mẫu số riêng rẽ (không dùng quy tắc thương).
Khi bậc bằng nhau, giới hạn bằng tỉ số của các hệ số cao nhất.
Đáp số: L = 1,333
Giới hạn: trước hết thử thay trực tiếp. Nếu cho 0/0, hãy rút gọn trước: phân tích thành nhân tử và giản ước thừa số chung, hoặc nhân với biểu thức liên hợp. Khi x → ∞, chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của x. Quy tắc L'Hôpital: nếu f/g cho 0/0 hoặc ∞/∞, thì lim f/g = lim f′/g′, lấy đạo hàm tử số và mẫu số riêng rẽ (không dùng quy tắc thương).
Đáp số: f′(1) = 0,077
Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.
Đáp số: x = 2
Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.
f″(x) = 6x − 21: âm tại cực đại, dương tại cực tiểu.
Đáp số: h = 20 cm
Tối ưu hóa: viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của một biến, dùng điều kiện ràng buộc để khử biến còn lại. Cho đạo hàm bằng 0 và giải. Kiểm tra điểm tới hạn là cực đại hay cực tiểu (dùng đạo hàm cấp hai hoặc sự đổi dấu của đạo hàm cấp một) và nằm trong khoảng cho phép; một đầu mút như cạnh có độ dài bằng 0 không phải là đáp án.
S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0, nên đây là cực tiểu.
Hộp hở tốt nhất có chiều cao bằng một nửa cạnh đáy.
Đáp số: P = 240 €
Tối ưu hóa: viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của một biến, dùng điều kiện ràng buộc để khử biến còn lại. Cho đạo hàm bằng 0 và giải. Kiểm tra điểm tới hạn là cực đại hay cực tiểu (dùng đạo hàm cấp hai hoặc sự đổi dấu của đạo hàm cấp một) và nằm trong khoảng cho phép; một đầu mút như cạnh có độ dài bằng 0 không phải là đáp án.
P″(q) = −0,2 < 0, nên đây là cực đại.
Đáp số: I = 1,718
Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.
Đáp số: I = 12,78
Tích phân từng phần: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, suy ra từ quy tắc tích. Chọn u là thừa số trở nên đơn giản hơn khi đạo hàm (một lũy thừa của x, hoặc ln x), và dv là thừa số bạn có thể tích phân (eˣ, sin x, cos x, hoặc x khi u = ln x). Với tích phân xác định, tính u·v tại cả hai cận: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Thừa số x² cần hai lần.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1