Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 8 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
Tìm giới hạn L = limx→∞ (1 + 0,5/x)2x. Cho kết quả dưới dạng số thập phân.
Tìm giới hạn L = limx→0 ln(1 + 5x)/sin(4x), với x tính bằng radian.
Cho f(x) = x·sin(2x), với x theo radian. Tìm f′(2).
Cho f(x) = x3 − 15x2 + 63x. Tìm hoành độ x của điểm cực tiểu địa phương.
Một hộp trụ kín (có nắp trên và đáy) phải chứa được 355 cm³. Lượng kim loại dùng tỉ lệ với tổng diện tích bề mặt. Tìm diện tích bề mặt nhỏ nhất có thể A.
Một công ty bán q sản phẩm mỗi tuần. Giá có thể bán là p = 60 − 1q euro mỗi sản phẩm, và chi phí là C(q) = 200 + 25q euro. Tìm mức giá p để lợi nhuận lớn nhất.
Miền dưới y = x từ x = 0 đến x = 3 được quay quanh trục x. Tìm thể tích V của vật thể (một hình nón).
Tìm diện tích A của miền giữa parabol y = 4 − x² và trục x.
Đáp số: L = 2,718
Giới hạn: trước hết thử thay trực tiếp. Nếu cho 0/0, hãy rút gọn trước: phân tích thành nhân tử và giản ước thừa số chung, hoặc nhân với biểu thức liên hợp. Khi x → ∞, chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của x. Quy tắc L'Hôpital: nếu f/g cho 0/0 hoặc ∞/∞, thì lim f/g = lim f′/g′, lấy đạo hàm tử số và mẫu số riêng rẽ (không dùng quy tắc thương).
ln(1 + u)/u → 1 khi u → 0, nên x·ln(1 + a/x) → a.
Đáp số: L = 1,25
Giới hạn: trước hết thử thay trực tiếp. Nếu cho 0/0, hãy rút gọn trước: phân tích thành nhân tử và giản ước thừa số chung, hoặc nhân với biểu thức liên hợp. Khi x → ∞, chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của x. Quy tắc L'Hôpital: nếu f/g cho 0/0 hoặc ∞/∞, thì lim f/g = lim f′/g′, lấy đạo hàm tử số và mẫu số riêng rẽ (không dùng quy tắc thương).
Đáp số: f′(2) = −3,371
Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.
Đáp số: x = 7
Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.
f″(x) = 6x − 30: âm tại cực đại, dương tại cực tiểu.
Đáp số: A = 277,5 cm²
Tối ưu hóa: viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của một biến, dùng điều kiện ràng buộc để khử biến còn lại. Cho đạo hàm bằng 0 và giải. Kiểm tra điểm tới hạn là cực đại hay cực tiểu (dùng đạo hàm cấp hai hoặc sự đổi dấu của đạo hàm cấp một) và nằm trong khoảng cho phép; một đầu mút như cạnh có độ dài bằng 0 không phải là đáp án.
A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0, nên đây là cực tiểu.
Hộp kín rẻ nhất có chiều cao bằng đường kính: h = 2r.
Đáp số: p = 42,5 €
Tối ưu hóa: viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của một biến, dùng điều kiện ràng buộc để khử biến còn lại. Cho đạo hàm bằng 0 và giải. Kiểm tra điểm tới hạn là cực đại hay cực tiểu (dùng đạo hàm cấp hai hoặc sự đổi dấu của đạo hàm cấp một) và nằm trong khoảng cho phép; một đầu mút như cạnh có độ dài bằng 0 không phải là đáp án.
P″(q) = −2 < 0, nên đây là cực đại.
Đáp số: V = 28,27
Thể tích tròn xoay: quay miền dưới y = f(x) từ x = a đến x = b quanh trục x tạo ra một vật thể có mặt cắt tại x là một đĩa bán kính f(x). Cộng các đĩa lại cho V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Khi miền nằm giữa một đường cong ngoài R(x) và một đường cong trong r(x), mỗi lát cắt là một vòng đệm: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Bình phương các bán kính trước khi trừ chúng.
Kiểm tra: hình nón bán kính 3 và chiều cao 3 có (1/3)πr²h = 28,27.
Đáp số: A = 10,67
Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1