Giải tích 1: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 8 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giới hạn

Thay trực tiếp
thử x = a trước; 0/0 nghĩa là cần rút gọn
Phân tích thành nhân tử và giản ước
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Biểu thức liên hợp
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Giới hạn tại vô cực
chia cho lũy thừa cao nhất của x; bậc bằng nhau cho tỉ số các hệ số cao nhất
Giới hạn đặc biệt
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Quy tắc L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Đạo hàm

Quy tắc lũy thừa
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Quy tắc tích
(uv)′ = u′v + uv′
Quy tắc thương
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Quy tắc dây chuyền
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Các đạo hàm thường gặp
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Phương pháp

  1. Xác định cấu trúc: tổng, tích, thương hay hàm hợp.
  2. Áp dụng quy tắc lũy thừa cho từng lũy thừa của x.
  3. Dùng quy tắc tích, thương hoặc dây chuyền khi cần.
  4. Rút gọn, và tính giá trị tại điểm nếu được yêu cầu.

Tối ưu hóa

Phương pháp
viết Q(x) theo một biến, giải Q′(x) = 0, kiểm tra Q″ hoặc các điểm biên
Cực đại
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Cực tiểu
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Hình trụ kín
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lợi nhuận
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Tích phân

Quy tắc lũy thừa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Tích phân xác định
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Các tích phân thường gặp
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Diện tích giữa các đường cong
∫ab (f − g) dx

Phương pháp

  1. Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
  2. Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho ex, 1/x, sin và cos.
  3. Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
  4. Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).

2Bài tập

1.Giới hạnTrung bình
xyy = L

Tìm giới hạn L = limx→∞ (√(x2 − 4x) − x).

f(x) = √(x2 − 4x) − xx → ∞
L =
2.Giới hạnKhó
xyx = 0

Tìm giới hạn L = limx→0 ln(1 + 3x)/sin(x), với x tính bằng radian.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(x)x → 0
L =
3.Đạo hàmTrung bình
xyx = 1,5

Cho f(x) = x·sin(3x), với x theo radian. Tìm f′(1,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 1,5 rad
f′(1.5) =
4.Đạo hàmKhó
xyx = 3

Tiếp tuyến của f(x) = 3x2 + x − 5 tại x = 3 cắt trục y tại y = b. Tìm b.

f(x) = 3x2 + x − 5x = 3
b =
5.Tối ưu hóaTrung bình
xhxkhông nắp

Một chiếc hộp hở (không nắp) có đáy vuông phải chứa được 108000 cm³. Dùng ít vật liệu nhất có thể, tức là tổng diện tích đáy và bốn mặt bên nhỏ nhất. Tìm cạnh đáy x.

V = 108000 cm³
x = cm
6.Tối ưu hóaKhó
qP(q)cực đại

Một doanh nghiệp nhỏ bán sản phẩm với giá thị trường cố định €40 mỗi sản phẩm. Sản xuất q sản phẩm tốn chi phí C(q) = 1400 + 10q + 0,1q² euro. Tìm sản lượng q để lợi nhuận lớn nhất.

p = €40C = 1400 + 10q + 0,1q²
q = đơn vị
7.Tích phânTrung bình
xy1y = x·cos x

Tính I = ∫₀1 x·cos x dx (x tính theo radian).

∫₀1 x·cos x dx
I =
8.Tích phânKhó
xy2,5y = 5xy = 2x²

Miền giữa đường thẳng y = 5x và parabol y = 2x² được quay quanh trục x. Tìm thể tích V của vật thể.

y = 5xy = 2x²
V =

3Dung dịch

1.Giới hạn

Đáp số: L = −2

Giới hạn: trước hết thử thay trực tiếp. Nếu cho 0/0, hãy rút gọn trước: phân tích thành nhân tử và giản ước thừa số chung, hoặc nhân với biểu thức liên hợp. Khi x → ∞, chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của x. Quy tắc L'Hôpital: nếu f/g cho 0/0 hoặc ∞/∞, thì lim f/g = lim f′/g′, lấy đạo hàm tử số và mẫu số riêng rẽ (không dùng quy tắc thương).

Nhân với biểu thức liên hợp

f(x) = −4x/(√(x2 − 4x) + x)

Chia cho x

f(x) = −4/(√(1 + (−4)/x) + 1)

Cho x → ∞

L = −4/(1 + 1) = −2

Đáp số

L = −2
2.Giới hạn

Đáp số: L = 3

Giới hạn: trước hết thử thay trực tiếp. Nếu cho 0/0, hãy rút gọn trước: phân tích thành nhân tử và giản ước thừa số chung, hoặc nhân với biểu thức liên hợp. Khi x → ∞, chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của x. Quy tắc L'Hôpital: nếu f/g cho 0/0 hoặc ∞/∞, thì lim f/g = lim f′/g′, lấy đạo hàm tử số và mẫu số riêng rẽ (không dùng quy tắc thương).

Quy tắc L'Hôpital

L = limx→0 [3/(1 + 3x)]/[cos x]

Thay x = 0

L = 3/1 = 3

Đáp số

L = 3
3.Đạo hàm

Đáp số: f′(1.5) = −1,926

Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.

Quy tắc tích và quy tắc dây chuyền

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Thay giá trị

f′(1,5) = −0,9775 + 4,5·(−0,2108) = −1,926

Đáp số

f′(1,5) = −1,926
4.Đạo hàm

Đáp số: b = −32

Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.

Điểm và hệ số góc

f(3) = 25
f′(x) = 6x + 1 → f′(3) = 19

Tiếp tuyến tại x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 25 − 19·3 = −32

Đáp số

b = −32
5.Tối ưu hóa

Đáp số: x = 60 cm

Tối ưu hóa: viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của một biến, dùng điều kiện ràng buộc để khử biến còn lại. Cho đạo hàm bằng 0 và giải. Kiểm tra điểm tới hạn là cực đại hay cực tiểu (dùng đạo hàm cấp hai hoặc sự đổi dấu của đạo hàm cấp một) và nằm trong khoảng cho phép; một đầu mút như cạnh có độ dài bằng 0 không phải là đáp án.

Diện tích theo x

S(x) = x² + 432000/x

Cho đạo hàm bằng không

S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0, nên đây là cực tiểu.

x³ = 216000 → x = 60 cm

Chiều cao và diện tích

h = 108000/60² = 30 cm
S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²

Đáp số

x = 60 cm

Hộp hở tốt nhất có chiều cao bằng một nửa cạnh đáy.

6.Tối ưu hóa

Đáp số: q = 150 đơn vị

Tối ưu hóa: viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của một biến, dùng điều kiện ràng buộc để khử biến còn lại. Cho đạo hàm bằng 0 và giải. Kiểm tra điểm tới hạn là cực đại hay cực tiểu (dùng đạo hàm cấp hai hoặc sự đổi dấu của đạo hàm cấp một) và nằm trong khoảng cho phép; một đầu mút như cạnh có độ dài bằng 0 không phải là đáp án.

Hàm lợi nhuận

P(q) = 40q − (1400 + 10q + 0,1q²) = −0,1q2 + 30q − 1400

Cho đạo hàm bằng không

P″(q) = −0,2 < 0, nên đây là cực đại.

30 − 0,2q = 0 → q = 150

Lợi nhuận lớn nhất

P = 30·150 − 0,1·150² − 1400 = €850

Đáp số

q = 150
7.Tích phân

Đáp số: I = 0,3818

Tích phân từng phần: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, suy ra từ quy tắc tích. Chọn u là thừa số trở nên đơn giản hơn khi đạo hàm (một lũy thừa của x, hoặc ln x), và dv là thừa số bạn có thể tích phân (eˣ, sin x, cos x, hoặc x khi u = ln x). Với tích phân xác định, tính u·v tại cả hai cận: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Thừa số x² cần hai lần.

Chọn u và dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Nguyên hàm

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Giới hạn

(1·sin 1 + cos 1) − (0 + 1) = 0,3818

Đáp số

I = 0,3818
8.Tích phân

Đáp số: V = 163,6

Thể tích tròn xoay: quay miền dưới y = f(x) từ x = a đến x = b quanh trục x tạo ra một vật thể có mặt cắt tại x là một đĩa bán kính f(x). Cộng các đĩa lại cho V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Khi miền nằm giữa một đường cong ngoài R(x) và một đường cong trong r(x), mỗi lát cắt là một vòng đệm: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Bình phương các bán kính trước khi trừ chúng.

Các giao điểm

5x = 2x² → x = 0, x = 2,5

Phương pháp vòng đệm

V = π∫₀2,5 ((5x)² − (2x²)²) dx

Lấy tích phân

V = π(25·2,5³/3 − 4·2,5⁵/5) = π·52,08 = 163,6

Đáp số

V = 163,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1