Giải tích 1: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 8 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Giới hạn

Thay trực tiếp: thử x = a trước; 0/0 nghĩa là cần rút gọn
Phân tích thành nhân tử và giản ước: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Biểu thức liên hợp: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Giới hạn tại vô cực: chia cho lũy thừa cao nhất của x; bậc bằng nhau cho tỉ số các hệ số cao nhất
Giới hạn đặc biệt: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Quy tắc L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Đạo hàm

Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′
Quy tắc thương: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Quy tắc dây chuyền: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Các đạo hàm thường gặp: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Phương pháp

Xác định cấu trúc: tổng, tích, thương hay hàm hợp.
Áp dụng quy tắc lũy thừa cho từng lũy thừa của x.
Dùng quy tắc tích, thương hoặc dây chuyền khi cần.
Rút gọn, và tính giá trị tại điểm nếu được yêu cầu.

Tối ưu hóa

Phương pháp: viết Q(x) theo một biến, giải Q′(x) = 0, kiểm tra Q″ hoặc các điểm biên
Cực đại: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Cực tiểu: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Hình trụ kín: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Lợi nhuận: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Tích phân

Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Tích phân xác định: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Các tích phân thường gặp: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Diện tích giữa các đường cong: ∫_a^b (f − g) dx

Phương pháp

Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho e^x, 1/x, sin và cos.
Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).

2Bài tập

1.Giới hạnTrung bình

Tìm giới hạn L = lim_x→∞ (√(x² + 6x) − x).

f(x) = √(x² + 6x) − xx → ∞

L =

2.Giới hạnKhó

Tìm giới hạn L = lim_x→0 (e^−2x − 1 + 2x)/x².

f(x) = (e^−2x − 1 + 2x)/x²x → 0

L =

3.Đạo hàmTrung bình

Cho f(x) = x·e^−0,5x. Tìm f′(0,5).

f(x) = x·e^−0,5xx = 0,5

f′(0.5) =

4.Đạo hàmKhó

Cho f(x) = x³ − 4,5x² + 6x. Tìm hoành độ x của điểm cực tiểu địa phương.

f(x) = x³ − 4,5x² + 6x

x =

5.Tối ưu hóaTrung bình

Một hộp trụ kín (có nắp trên và đáy) phải chứa được 250 cm³. Lượng kim loại dùng tỉ lệ với tổng diện tích bề mặt. Tìm bán kính r để dùng ít vật liệu nhất.

V = 250 cm³

r = cm

6.Tối ưu hóaKhó

Một doanh nghiệp nhỏ bán sản phẩm với giá thị trường cố định €30 mỗi sản phẩm. Sản xuất q sản phẩm tốn chi phí C(q) = 100 + 14q + 0,25q² euro. Tìm sản lượng q để lợi nhuận lớn nhất.

p = €30C = 100 + 14q + 0,25q²

q = đơn vị

7.Tích phânTrung bình

Miền dưới y = √(x) từ x = 0 đến x = 4 được quay quanh trục x. Tìm thể tích V của vật thể (một paraboloid).

y = √(x)0 ≤ x ≤ 4

V =

8.Tích phânKhó

Tìm diện tích A của miền giữa parabol y = 1 − x² và trục x.

y = 1 − x²

A =

3Dung dịch

1.Giới hạn

Đáp số: L = 3

Giới hạn: trước hết thử thay trực tiếp. Nếu cho 0/0, hãy rút gọn trước: phân tích thành nhân tử và giản ước thừa số chung, hoặc nhân với biểu thức liên hợp. Khi x → ∞, chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của x. Quy tắc L'Hôpital: nếu f/g cho 0/0 hoặc ∞/∞, thì lim f/g = lim f′/g′, lấy đạo hàm tử số và mẫu số riêng rẽ (không dùng quy tắc thương).

Nhân với biểu thức liên hợp

f(x) = 6x/(√(x² + 6x) + x)

Chia cho x

f(x) = 6/(√(1 + 6/x) + 1)

Cho x → ∞

L = 6/(1 + 1) = 3

Đáp số

L = 3

2.Giới hạn

Đáp số: L = 2

Áp dụng lần thứ nhất

(−2·e^−2x + 2)/(2x) → 0/0

Áp dụng lần thứ hai

4·e^−2x/2

Thay x = 0

L = 4·1/2 = 2

Đáp số

L = 2

3.Đạo hàm

Đáp số: f′(0.5) = 0,5841

Đạo hàm: đạo hàm f′(x) là hệ số góc của đồ thị tại x. Quy tắc lũy thừa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Quy tắc tích: (uv)′ = u′v + uv′. Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Tại nơi f′(x) = 0, đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang: cực đại, cực tiểu hoặc điểm yên ngựa.

Quy tắc tích

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0,5x·(1 + (−0,5)·x)

Thay giá trị

f′(0,5) = 0,7788·(1 + (−0,25)) = 0,5841

Đáp số

f′(0,5) = 0,5841

4.Đạo hàm

Đáp số: x = 2

Đạo hàm

f′(x) = 3x² − 9x + 6 = 3·(x² − 3x + 2)

Giải f′(x) = 0

x = 1 hoặc x = 2

Điểm nào là điểm nào

f″(x) = 6x − 9: âm tại cực đại, dương tại cực tiểu.

f″(1) = −3, f″(2) = 3

x = 2

Đáp số

x = 2

5.Tối ưu hóa

Đáp số: r = 3,414 cm

Tối ưu hóa: viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của một biến, dùng điều kiện ràng buộc để khử biến còn lại. Cho đạo hàm bằng 0 và giải. Kiểm tra điểm tới hạn là cực đại hay cực tiểu (dùng đạo hàm cấp hai hoặc sự đổi dấu của đạo hàm cấp một) và nằm trong khoảng cho phép; một đầu mút như cạnh có độ dài bằng 0 không phải là đáp án.

Diện tích theo r

h = 250/(πr²)

A(r) = 2πr² + 500/r

Cho đạo hàm bằng không

A″(r) = 4π + 1000/r³ > 0, nên đây là cực tiểu.

4πr − 500/r² = 0 → r = ∛(250/(2π)) = 3,414 cm

Chiều cao và diện tích

h = 250/(π·3,414²) = 2r = 6,828 cm

A = 2π·3,414² + 500/3,414 = 219,7 cm²

Đáp số

r = 3,414 cm

Hộp kín rẻ nhất có chiều cao bằng đường kính: h = 2r.

6.Tối ưu hóa

Đáp số: q = 32 đơn vị

Hàm lợi nhuận

P(q) = 30q − (100 + 14q + 0,25q²) = −0,25q² + 16q − 100

Cho đạo hàm bằng không

P″(q) = −0,5 < 0, nên đây là cực đại.

16 − 0,5q = 0 → q = 32

Lợi nhuận lớn nhất

P = 16·32 − 0,25·32² − 100 = €156

Đáp số

q = 32

7.Tích phân

Đáp số: V = 25,13

Thể tích tròn xoay: quay miền dưới y = f(x) từ x = a đến x = b quanh trục x tạo ra một vật thể có mặt cắt tại x là một đĩa bán kính f(x). Cộng các đĩa lại cho V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Khi miền nằm giữa một đường cong ngoài R(x) và một đường cong trong r(x), mỗi lát cắt là một vòng đệm: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Bình phương các bán kính trước khi trừ chúng.

Phương pháp đĩa

V = π∫₀⁴ x dx

Lấy tích phân

V = π·1·4²/2 = 25,13

Đáp số

V = 25,13

8.Tích phân

Đáp số: A = 1,333

Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.

Các nghiệm

1 − x² = 0 → x = ±1

Lấy tích phân

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Đáp số

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1