Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thuật toán nào tìm đường đi ngắn nhất từ một nguồn trong đồ thị có trọng số cạnh không âm?

  1. AThuật toán Kruskal
  2. BTìm kiếm theo chiều sâu
  3. CBắt buộc phải dùng Bellman–Ford trong mọi trường hợp
  4. DThuật toán Dijkstra
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Dùng định lý chủ, T(n) = 8T(n/2) + O(n²) có nghiệm là:

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n²)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Điều gì xảy ra khi bảng băm băm lại (rehash) sau khi hệ số tải vượt ngưỡng?

  1. AChỉ các khóa va chạm được chuyển sang một danh sách tràn mới ở cuối bảng
  2. BCác khóa cũ nhất bị xóa để lấy chỗ
  3. CMột bảng lớn hơn được cấp phát và mọi khóa được chèn lại
  4. DCác khóa hiện có được sắp xếp tại chỗ
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây đoạn (segment tree) thường được dùng để:

  1. ACài đặt ngăn xếp
  2. BSắp xếp chuỗi theo bảng chữ cái bằng cách lưu mỗi tiền tố trong một nút cây riêng
  3. CTrả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)
  4. DLưu các cạnh của đồ thị
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
2177351319620ABCDEFG

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Thuật toán Dijkstra

Vì sao đây là đáp án

Thuật toán Dijkstra hoạt động với trọng số không âm; Bellman–Ford xử lý được trọng số âm; Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất.

Đáp số

D · Thuật toán Dijkstra
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Θ(n³)

Vì sao đây là đáp án

log₂ 8 = 3, và n² tăng chậm hơn n³, nên các lá chiếm ưu thế: Θ(n³).

Đáp số

C · Θ(n³)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Một bảng lớn hơn được cấp phát và mọi khóa được chèn lại

Vì sao đây là đáp án

Vì chỉ số được tính theo modulo kích thước bảng, mọi khóa phải được băm lại vào bảng mới lớn hơn; với việc nhân đôi, chi phí khấu hao vẫn là O(1).

Đáp số

C · Một bảng lớn hơn được cấp phát và mọi khóa được chèn lại
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Trả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)

Vì sao đây là đáp án

Cây đoạn lưu các giá trị tổng hợp cho các khoảng, hỗ trợ truy vấn khoảng và cập nhật điểm trong thời gian O(log n).

Đáp số

C · Trả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Các đỉnh lẻ

A, B → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 40

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

AC (2): lấy
CE (3): lấy
EF (5): lấy
GD (6): lấy
BD (7): lấy
GB (13): bỏ qua, tạo chu trình
BC (17): lấy

Tổng trọng số

W = 2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 17 = 40

Đáp số

W = 40

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms