Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay: Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Đồ thị đều: |E| = n·k/2
Cây và rừng: |E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong K_n: (n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L: (Mᴸ)_ij

Phương pháp

Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Công thức truy hồi T(n) = 2T(n/2) + O(n) có nghiệm là:

AO(n²)
BO(log n)
CO(n)
DO(n log n)

2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

2²ⁿ có thuộc O(2ⁿ) không?

ACó, vì các hệ số hằng trong số mũ luôn bị bỏ qua trong Big O
BKhông, vì 2²ⁿ = 4ⁿ và 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ tăng không giới hạn
CCó, vì cả hai đều là hàm mũ
DKhông, vì 2²ⁿ tăng chậm hơn 2ⁿ

3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cây AVL và cây đỏ-đen đảm bảo:

ACác khóa được lưu theo thứ tự chèn
BTìm kiếm thời gian hằng số trong mọi trường hợp
CChiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại
DKhông nút nào có hai con

4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Bộ lọc Bloom có thể trả lời "phần tử này có trong tập không?" với:

ALuôn luôn chính xác
BChỉ trả lời cho các số
CCó thể có dương tính giả nhưng không có âm tính giả
DCó thể có âm tính giả nhưng không có dương tính giả

5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 10 đỉnh và 18 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 10|E| = 18

k =

6.Lý thuyết đồ thịKhó

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 4; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 4

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(n log n)

Vì sao đây là đáp án

Theo định lý chủ (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Đáp số

D · O(n log n)

2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Không, vì 2²ⁿ = 4ⁿ và 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ tăng không giới hạn

Vì sao đây là đáp án

Một hằng số cộng vào số mũ cho một hệ số hằng, nhưng một hằng số nhân với số mũ làm đổi cơ số và tốc độ tăng.

Đáp số

B · Không, vì 2²ⁿ = 4ⁿ và 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ tăng không giới hạn

3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Chiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại

Vì sao đây là đáp án

Cây tự cân bằng giữ chiều cao ở mức logarit, nên tìm kiếm, chèn và xóa là O(log n) trong trường hợp xấu nhất.

Đáp số

C · Chiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại

4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Có thể có dương tính giả nhưng không có âm tính giả

Vì sao đây là đáp án

Nếu bất kỳ bit nào của một phần tử là 0 thì chắc chắn nó vắng mặt; nếu tất cả là 1 thì có lẽ nó có mặt. Bộ lọc Bloom đánh đổi độ chính xác lấy rất ít bộ nhớ.

Đáp số

C · Có thể có dương tính giả nhưng không có âm tính giả

5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 9

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; K_n có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

10 − 1 = 9

Các cạnh cần bỏ

k = 18 − 9 = 9

Đáp số

k = 9

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: E

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): B: 14, C: 8

2. C (8): E: 21

3. B (14): D: 24

4. E (21)

5. D (24): F: 32

6. F (32)

vòng 4

Đáp số

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms