Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thuật toán nào tìm đường đi ngắn nhất từ một nguồn trong đồ thị có trọng số cạnh không âm?

  1. ABắt buộc phải dùng Bellman–Ford trong mọi trường hợp
  2. BTìm kiếm theo chiều sâu
  3. CThuật toán Dijkstra
  4. DThuật toán Kruskal
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Chi phí thời gian và không gian của việc tính số Fibonacci thứ n bằng một vòng lặp chỉ giữ hai giá trị cuối là bao nhiêu?

  1. AThời gian O(log n) và không gian O(n)
  2. BThời gian O(n) và không gian O(1)
  3. CThời gian O(2ⁿ) và không gian O(1)
  4. DThời gian O(n) và không gian O(n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Trong đống nhị phân lưu trong mảng bắt đầu từ chỉ số 0, cha của nút ở chỉ số i nằm ở đâu?

  1. AỞ chỉ số i − 1
  2. BỞ chỉ số ⌊i / 2⌋ + 1
  3. CỞ chỉ số ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. DỞ chỉ số 2i + 1
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Vì sao không thể đơn giản xóa phần tử khỏi bộ lọc Bloom chuẩn bằng cách xóa các bit của chúng?

  1. ABộ lọc Bloom lưu đầy đủ các phần tử, và chúng không thể được tìm lại sau khi đã băm
  2. BCác bit trong bộ lọc Bloom không thể thay đổi sau khi tạo
  3. CViệc xóa sẽ làm tỷ lệ dương tính giả tăng lên 100%
  4. DCác bit đó có thể cũng thuộc về các phần tử khác, gây ra âm tính giả
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 3 đỉnh bậc 3, 3 đỉnh bậc 5, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

3 × deg 33 × deg 5
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
8910205153ABCDE

Thuật toán Kruskal xây dựng một cây khung nhỏ nhất. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 3; các cạnh bị bỏ qua không được tính.

k = 3
  1. 1cạnh AB
  2. 2cạnh AC
  3. 3cạnh BC
  4. 4cạnh BD
  5. 5cạnh CE
  6. 6cạnh DE
  7. 7cạnh BE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Thuật toán Dijkstra

Vì sao đây là đáp án

Thuật toán Dijkstra hoạt động với trọng số không âm; Bellman–Ford xử lý được trọng số âm; Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất.

Đáp số

C · Thuật toán Dijkstra
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Thời gian O(n) và không gian O(1)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi bước chỉ cần hai giá trị trước đó, nên bảng của phương pháp từ dưới lên có thể được thay bằng hai biến.

Đáp số

B · Thời gian O(n) và không gian O(1)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Ở chỉ số ⌊(i − 1) / 2⌋

Vì sao đây là đáp án

Các con của i ở 2i + 1 và 2i + 2, nên cha của i là ⌊(i − 1) / 2⌋; với chỉ số bắt đầu từ 1 nó là ⌊i / 2⌋.

Đáp số

C · Ở chỉ số ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Các bit đó có thể cũng thuộc về các phần tử khác, gây ra âm tính giả

Vì sao đây là đáp án

Xóa một bit dùng chung sẽ làm phần tử khác trông như vắng mặt; bộ lọc Bloom đếm giữ bộ đếm thay vì bit để cho phép xóa.

Đáp số

D · Các bit đó có thể cũng thuộc về các phần tử khác, gây ra âm tính giả
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 14

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 24 = 2(L + 6) − 2
L = 14

Đáp số

L = 14

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh AB

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

1. BE (3)
2. CE (5)
3. AB (8)
4. DE (15)

cạnh số 3

AB

Đáp số

cạnh AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms