Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Một bài toán có cấu trúc con tối ưu nghĩa là gì?

  1. ABài toán có thể giải trong thời gian hằng số
  2. BBài toán có đúng một lời giải tối ưu, và mọi bài toán con đều dùng chung lời giải đó
  3. CMọi bài toán con đều có cùng kích thước
  4. DMột lời giải tối ưu có thể được xây dựng từ các lời giải tối ưu của các bài toán con
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

22n có thuộc O(2ⁿ) không?

  1. ACó, vì các hệ số hằng trong số mũ luôn bị bỏ qua trong Big O
  2. BCó, vì cả hai đều là hàm mũ
  3. CKhông, vì 22n tăng chậm hơn 2ⁿ
  4. DKhông, vì 22n = 4ⁿ và 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ tăng không giới hạn
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Extract-min hoạt động thế nào trong đống min nhị phân?

  1. AChuyển phần tử cuối lên gốc và đẩy xuống
  2. BXóa gốc và dịch tất cả phần tử sang trái một vị trí
  3. CXóa phần tử cuối của mảng
  4. DTìm trong tất cả các lá giá trị nhỏ nhất mới
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Vì sao không thể đơn giản xóa phần tử khỏi bộ lọc Bloom chuẩn bằng cách xóa các bit của chúng?

  1. ABộ lọc Bloom lưu đầy đủ các phần tử, và chúng không thể được tìm lại sau khi đã băm
  2. BCác bit đó có thể cũng thuộc về các phần tử khác, gây ra âm tính giả
  3. CViệc xóa sẽ làm tỷ lệ dương tính giả tăng lên 100%
  4. DCác bit trong bộ lọc Bloom không thể thay đổi sau khi tạo
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
14151115613115ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Một lời giải tối ưu có thể được xây dựng từ các lời giải tối ưu của các bài toán con

Vì sao đây là đáp án

Cấu trúc con tối ưu là điều kiện cần để cả thuật toán tham lam lẫn quy hoạch động cho đáp án đúng.

Đáp số

D · Một lời giải tối ưu có thể được xây dựng từ các lời giải tối ưu của các bài toán con
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Không, vì 22n = 4ⁿ và 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ tăng không giới hạn

Vì sao đây là đáp án

Một hằng số cộng vào số mũ cho một hệ số hằng, nhưng một hằng số nhân với số mũ làm đổi cơ số và tốc độ tăng.

Đáp số

D · Không, vì 22n = 4ⁿ và 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ tăng không giới hạn
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Chuyển phần tử cuối lên gốc và đẩy xuống

Vì sao đây là đáp án

Phần tử cuối lấp chỗ trống ở gốc và được hoán đổi với con nhỏ hơn cho đến khi tính chất đống được thỏa, tốn O(log n).

Đáp số

A · Chuyển phần tử cuối lên gốc và đẩy xuống
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Các bit đó có thể cũng thuộc về các phần tử khác, gây ra âm tính giả

Vì sao đây là đáp án

Xóa một bit dùng chung sẽ làm phần tử khác trông như vắng mặt; bộ lọc Bloom đếm giữ bộ đếm thay vì bit để cho phép xóa.

Đáp số

B · Các bit đó có thể cũng thuộc về các phần tử khác, gây ra âm tính giả
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Chu trình Euler

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Các đỉnh lẻ

0
Chu trình Euler

Đáp số

Chu trình Euler
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 30

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 14, C: 15
B (14): E: 29
C (15)
E (29): D: 35, F: 30
F (30)
D (35)

Đường đi ngắn nhất

A → B → E → F
d(F) = 30

Đáp số

d(F) = 30

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms