Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Tìm kiếm nhị phân cần khoảng bao nhiêu phép so sánh trong trường hợp xấu nhất trên một mảng đã sắp xếp có 1,000,000 phần tử?

  1. AKhoảng 100
  2. BKhoảng 500,000
  3. CKhoảng 1,000
  4. DKhoảng 20
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Chi phí khấu hao của việc tăng một bộ đếm nhị phân là bao nhiêu, biết rằng một lần tăng có thể lật nhiều bit?

  1. AO(n log n) mỗi lần tăng
  2. BO(log n) mỗi lần tăng
  3. CO(1) mỗi lần tăng
  4. DO(n) mỗi lần tăng
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Điều nào đúng với ma trận kề của một đồ thị vô hướng?

  1. AĐường chéo chính của nó luôn chứa các số một
  2. BNó luôn là ma trận tam giác trên
  3. CNó đối xứng qua đường chéo chính
  4. DMỗi hàng có đúng một số 1
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cấu trúc union-find (tập rời nhau) với hợp theo hạng và nén đường đi có chi phí khấu hao mỗi thao tác là:

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(α(n)), hàm Ackermann ngược, thực tế gần như hằng số
  4. DChính xác O(log n)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 7 đỉnh và 7 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 7|E| = 7
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
73486917142ABCDEFG

Thuật toán Prim xây dựng một cây khung nhỏ nhất bắt đầu từ đỉnh C. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 3.

bắt đầu: Ck = 3
  1. 1cạnh AC
  2. 2cạnh BC
  3. 3cạnh CE
  4. 4cạnh DE
  5. 5cạnh DF
  6. 6cạnh EF
  7. 7cạnh GB
  8. 8cạnh GD
  9. 9cạnh GE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Khoảng 20

Vì sao đây là đáp án

220 ≈ 1,048,576, nên sau khoảng 20 lần chia đôi chỉ còn lại một phần tử.

Đáp số

D · Khoảng 20
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · O(1) mỗi lần tăng

Vì sao đây là đáp án

Qua n lần tăng, bit i lật khoảng n / 2ⁱ lần, nên tổng là dưới 2n lần lật, trung bình O(1) mỗi lần.

Đáp số

C · O(1) mỗi lần tăng
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Nó đối xứng qua đường chéo chính

Vì sao đây là đáp án

Trong đồ thị vô hướng cạnh {u, v} nghĩa là cả M[u][v] và M[v][u] đều được đặt, nên ma trận bằng chuyển vị của nó.

Đáp số

C · Nó đối xứng qua đường chéo chính
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · O(α(n)), hàm Ackermann ngược, thực tế gần như hằng số

Vì sao đây là đáp án

Với cả hai tối ưu hóa, các thao tác tốn thời gian khấu hao O(α(n)); α(n) ≤ 4 với mọi n thực tế.

Đáp số

C · O(α(n)), hàm Ackermann ngược, thực tế gần như hằng số
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 1

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

7 − 1 = 6

Các cạnh cần bỏ

k = 7 − 6 = 1

Đáp số

k = 1
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh GE

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Prim

1. BC (3)
2. CE (4)
3. GE (2)
4. AC (7)
5. DE (8)
6. DF (6)

cạnh số 3

GE

Đáp số

cạnh GE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms