Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của thuật toán quy hoạch động chuẩn cho dãy con chung dài nhất của các chuỗi có độ dài m và n là gì?

  1. AO(2m+n)
  2. BO(mn)
  3. CO(m + n)
  4. DO(mn log n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Định nghĩa nào của lớp NP là đúng?

  1. ACác bài toán không thể giải trong thời gian đa thức
  2. BCác bài toán mà không thuật toán nào giải được
  3. CCác bài toán quyết định có câu trả lời "có" kiểm chứng được trong thời gian đa thức khi cho một chứng chỉ
  4. DCác bài toán không phải đa thức
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Giá trị của biểu thức hậu tố 3 4 + 2 * là bao nhiêu?

  1. A10
  2. B24
  3. C11
  4. D14
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Ưu điểm chính của skip list so với danh sách liên kết đã sắp xếp là gì?

  1. ANó không dùng thêm bộ nhớ
  2. BNó lưu khóa không có thứ tự
  3. CTìm kiếm O(1) được đảm bảo vì mỗi nút lưu một con trỏ tới mọi nút khác
  4. DTìm kiếm kỳ vọng O(log n) nhờ dùng nhiều tầng con trỏ tiến
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 2 đỉnh bậc 3, 4 đỉnh bậc 4, 3 đỉnh bậc 5, 4 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

2 × deg 34 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
28141211910119174ABCDEFG

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · O(mn)

Vì sao đây là đáp án

Bảng có (m + 1)(n + 1) ô và mỗi ô được tính trong O(1) từ các ô lân cận.

Đáp số

B · O(mn)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Các bài toán quyết định có câu trả lời "có" kiểm chứng được trong thời gian đa thức khi cho một chứng chỉ

Vì sao đây là đáp án

Với một bài toán NP, một lời giải đề xuất (chứng chỉ) có thể được kiểm tra nhanh, ví dụ kiểm chứng một phép gán cho trước thỏa mãn một công thức Boole.

Đáp số

C · Các bài toán quyết định có câu trả lời "có" kiểm chứng được trong thời gian đa thức khi cho một chứng chỉ
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · 14

Vì sao đây là đáp án

Đẩy 3 và 4, + cho 7; đẩy 2, * cho 7 × 2 = 14.

Đáp số

D · 14
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Tìm kiếm kỳ vọng O(log n) nhờ dùng nhiều tầng con trỏ tiến

Vì sao đây là đáp án

Các tầng ngẫu nhiên cho phép tìm kiếm bỏ qua nhiều nút, cho tìm kiếm, chèn và xóa kỳ vọng O(log n).

Đáp số

D · Tìm kiếm kỳ vọng O(log n) nhờ dùng nhiều tầng con trỏ tiến
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 21

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 45 = 2(L + 13) − 2
L = 21

Đáp số

L = 21

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 37

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

CE (1): lấy
AB (2): lấy
GE (4): lấy
AC (8): lấy
GC (9): bỏ qua, tạo chu trình
EF (10): lấy
GB (11): bỏ qua, tạo chu trình
BD (12): lấy

Tổng trọng số

W = 1 + 2 + 4 + 8 + 10 + 12 = 37

Đáp số

W = 37

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms