Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Cận dưới của sắp xếp dựa trên so sánh trong trường hợp xấu nhất là:

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(n log n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Vì sao tìm kiếm nhị phân không cho thời gian O(log n) trên một danh sách liên kết đơn?

  1. ACác phép so sánh trên nút danh sách liên kết chậm hơn
  2. BĐến được phần tử giữa mất O(n) bước, vì không có truy cập chỉ số trực tiếp
  3. CDanh sách liên kết không thể được sắp xếp
  4. DTìm kiếm nhị phân cần ít nhất gấp đôi bộ nhớ
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một phần tử mới được chèn vào đống nhị phân như thế nào?

  1. AĐặt nó ở gốc và đẩy xuống
  2. BXây lại toàn bộ đống từ đầu
  3. CĐặt nó ở cuối mảng và đẩy lên trong khi nó vi phạm tính chất đống
  4. DChèn nó vào vị trí đã sắp bằng cách dịch tất cả các phần tử lớn hơn sang phải một vị trí
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Tìm một khóa tùy ý trong đống min nhị phân n phần tử mất bao lâu?

  1. AO(1)
  2. BO(log log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 3 đỉnh bậc 4, 2 đỉnh bậc 5, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

3 × deg 42 × deg 5
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
1514310111291552ABCDEFG

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Ω(n log n)

Vì sao đây là đáp án

Mọi thuật toán sắp xếp dựa trên so sánh cần ít nhất log₂(n!) ≈ n log n phép so sánh trong trường hợp xấu nhất. Sắp xếp đếm vượt qua giới hạn này vì nó không so sánh.

Đáp số

D · Ω(n log n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Đến được phần tử giữa mất O(n) bước, vì không có truy cập chỉ số trực tiếp

Vì sao đây là đáp án

Tìm kiếm nhị phân cần truy cập O(1) vào phần tử giữa; trên danh sách liên kết, đi đến đó tốn thời gian tuyến tính, nên tổng là O(n).

Đáp số

B · Đến được phần tử giữa mất O(n) bước, vì không có truy cập chỉ số trực tiếp
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Đặt nó ở cuối mảng và đẩy lên trong khi nó vi phạm tính chất đống

Vì sao đây là đáp án

Thêm ở cuối giữ cây đầy đủ; hoán đổi với cha khôi phục thứ tự trong O(log n) bước.

Đáp số

C · Đặt nó ở cuối mảng và đẩy lên trong khi nó vi phạm tính chất đống
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Đống không có quy tắc nào cho biết cây con nào chứa một khóa, nên trong trường hợp xấu nhất phải kiểm tra mọi nút; chỉ giá trị nhỏ nhất là tìm nhanh.

Đáp số

C · O(n)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 14

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 22 = 2(L + 5) − 2
L = 14

Đáp số

L = 14

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 34

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 15, C: 14
C (14): E: 25, G: 19
B (15): D: 25
G (19): E: 21
E (21): F: 36
D (25): F: 34
F (34)

Đường đi ngắn nhất

A → B → D → F
d(F) = 34

Đáp số

d(F) = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms