Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Vì sao nhiều hàm sắp xếp trong thư viện chuyển sang sắp xếp chèn cho các mảng con rất nhỏ?

  1. ACác thuật toán đệ quy không xử lý được mảng dưới 10 phần tử
  2. BSắp xếp chèn ít chi phí phụ và nhanh trên đầu vào nhỏ hoặc gần như đã sắp xếp
  3. CSắp xếp chèn dùng ít bộ nhớ hơn mọi thuật toán sắp xếp khác trên đầu vào lớn
  4. DSắp xếp chèn là O(n log n) trong trường hợp xấu nhất
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Phát biểu nào về P và NP là đúng?

  1. ANP có nghĩa là "không đa thức"
  2. BĐã được chứng minh rằng P ≠ NP
  3. CMọi bài toán trong P cũng thuộc NP
  4. DCác bài toán NP không thể được kiểm chứng nhanh
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Bạn có một tham chiếu đến một nút ở giữa danh sách. Trong danh sách nào bạn có thể xóa nó trong O(1)?

  1. ADanh sách liên kết đơn
  2. BDanh sách liên kết đôi
  3. CMảng động
  4. DMảng đã sắp xếp
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Chi phí thời gian và không gian bổ sung của việc đảo ngược danh sách liên kết đơn tại chỗ là bao nhiêu?

  1. AThời gian O(1) và không gian bổ sung O(1)
  2. BThời gian O(n) và không gian bổ sung O(1)
  3. CThời gian O(n log n) và không gian bổ sung O(1)
  4. DThời gian O(n) và không gian bổ sung O(n)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
131247812610ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Sắp xếp chèn ít chi phí phụ và nhanh trên đầu vào nhỏ hoặc gần như đã sắp xếp

Vì sao đây là đáp án

Với n nhỏ, vòng lặp đơn giản của sắp xếp chèn thắng chi phí đệ quy của quicksort hay sắp xếp trộn, dù nó là O(n²).

Đáp số

B · Sắp xếp chèn ít chi phí phụ và nhanh trên đầu vào nhỏ hoặc gần như đã sắp xếp
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Mọi bài toán trong P cũng thuộc NP

Vì sao đây là đáp án

P ⊆ NP: nếu bạn giải được một bài toán nhanh thì bạn kiểm chứng được một lời giải nhanh. P = NP hay không vẫn là câu hỏi mở.

Đáp số

C · Mọi bài toán trong P cũng thuộc NP
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Danh sách liên kết đôi

Vì sao đây là đáp án

Nút của danh sách liên kết đôi biết nút đứng trước nó, nên bạn có thể nối lại prev và next trực tiếp; danh sách liên kết đơn phải tìm nút đứng trước.

Đáp số

B · Danh sách liên kết đôi
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Thời gian O(n) và không gian bổ sung O(1)

Vì sao đây là đáp án

Giữ ba con trỏ (trước, hiện tại, kế tiếp) cho phép đảo từng liên kết trong một lượt mà không cấp phát nút mới.

Đáp số

B · Thời gian O(n) và không gian bổ sung O(1)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Các đỉnh lẻ

C, E → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 25

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 13, C: 12
C (12): E: 19
B (13): D: 17
D (17): F: 29
E (19): F: 25
F (25)

Đường đi ngắn nhất

A → C → E → F
d(F) = 25

Đáp số

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms