Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Đệ quy của sắp xếp trộn có bao nhiêu tầng đối với một mảng n phần tử?

  1. AKhoảng n / 2
  2. BKhoảng n
  3. CKhoảng log₂ n
  4. DKhoảng √n
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Thuật toán nào tìm cây khung nhỏ nhất bằng cách liên tục thêm cạnh rẻ nhất không tạo chu trình?

  1. AThuật toán Dijkstra
  2. BFloyd–Warshall
  3. CThuật toán Kruskal
  4. DThuật toán Prim bắt đầu từ một nút
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Chiều cao trong trường hợp xấu nhất của cây tìm kiếm nhị phân có n nút là bao nhiêu nếu các khóa được chèn theo thứ tự đã sắp xếp?

  1. A√n
  2. Bn (nó trở thành danh sách liên kết)
  3. Clog₂ n
  4. D1
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây đoạn (segment tree) thường được dùng để:

  1. ACài đặt ngăn xếp
  2. BTrả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)
  3. CSắp xếp chuỗi theo bảng chữ cái bằng cách lưu mỗi tiền tố trong một nút cây riêng
  4. DLưu các cạnh của đồ thị
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
131114629115121ABCDEFG

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 5; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Khoảng log₂ n

Vì sao đây là đáp án

Chia đôi từ n xuống 1 mất khoảng log₂ n tầng, và mỗi tầng thực hiện công việc trộn O(n), cho O(n log n).

Đáp số

C · Khoảng log₂ n
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Thuật toán Kruskal

Vì sao đây là đáp án

Kruskal sắp xếp các cạnh theo trọng số và thêm chúng nếu chúng nối các thành phần khác nhau; Prim phát triển một cây từ đỉnh xuất phát.

Đáp số

C · Thuật toán Kruskal
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · n (nó trở thành danh sách liên kết)

Vì sao đây là đáp án

Chèn theo thứ tự đã sắp tạo ra cây suy biến có chiều cao n, khiến tìm kiếm tốn O(n). Cây cân bằng ngăn điều này.

Đáp số

B · n (nó trở thành danh sách liên kết)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Trả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)

Vì sao đây là đáp án

Cây đoạn lưu các giá trị tổng hợp cho các khoảng, hỗ trợ truy vấn khoảng và cập nhật điểm trong thời gian O(log n).

Đáp số

B · Trả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Các đỉnh lẻ

C, E → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: G

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): B: 13, C: 11
2. C (11): E: 17
3. B (13): G: 18
4. E (17): D: 19, F: 28
5. G (18)
6. D (19)
7. F (28)

vòng 5

G

Đáp số

G

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms