Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Trong bài toán chọn hoạt động, quy tắc tham lam nào luôn cho số hoạt động không chồng lấn tối đa?

  1. AChọn hoạt động bắt đầu sớm nhất
  2. BChọn hoạt động ngắn nhất trước
  3. CChọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
  4. DChọn hoạt động có ít chồng lấn nhất trước, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Định nghĩa nào của lớp NP là đúng?

  1. ACác bài toán quyết định có câu trả lời "có" kiểm chứng được trong thời gian đa thức khi cho một chứng chỉ
  2. BCác bài toán mà không thuật toán nào giải được
  3. CCác bài toán không phải đa thức
  4. DCác bài toán không thể giải trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Chi phí chèn một phần tử vào giữa mảng n phần tử là bao nhiêu?

  1. AO(n²), vì mỗi phần tử di chuyển n lần
  2. BO(log n), nhờ tìm kiếm nhị phân
  3. CO(1), vì đã biết chỉ số
  4. DO(n), vì các phần tử phía sau phải dịch chuyển
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Tính chất nào giữ cho mọi cây B cân bằng hoàn hảo?

  1. AMỗi nút lưu một khóa
  2. BMỗi nút có đúng hai con
  3. CMọi lá ở cùng một độ sâu
  4. DCác khóa chỉ được lưu ở gốc
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 15 đỉnh và 20 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 15|E| = 20
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
1411512142139ABCDEF

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 4; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Chọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích

Vì sao đây là đáp án

Chọn thời điểm kết thúc sớm nhất có thể được chứng minh là tối ưu bằng lập luận hoán đổi; các quy tắc khác đều có phản ví dụ.

Đáp số

C · Chọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Các bài toán quyết định có câu trả lời "có" kiểm chứng được trong thời gian đa thức khi cho một chứng chỉ

Vì sao đây là đáp án

Với một bài toán NP, một lời giải đề xuất (chứng chỉ) có thể được kiểm tra nhanh, ví dụ kiểm chứng một phép gán cho trước thỏa mãn một công thức Boole.

Đáp số

A · Các bài toán quyết định có câu trả lời "có" kiểm chứng được trong thời gian đa thức khi cho một chứng chỉ
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · O(n), vì các phần tử phía sau phải dịch chuyển

Vì sao đây là đáp án

Mọi phần tử sau điểm chèn dịch sang phải một vị trí, tốn thời gian tỷ lệ với n.

Đáp số

D · O(n), vì các phần tử phía sau phải dịch chuyển
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Mọi lá ở cùng một độ sâu

Vì sao đây là đáp án

Các nút tách lên phía trên khi đầy và cây chỉ cao thêm khi gốc tách, nên mọi lá luôn ở cùng một mức.

Đáp số

C · Mọi lá ở cùng một độ sâu
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 6

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

15 − 1 = 14

Các cạnh cần bỏ

k = 20 − 14 = 6

Đáp số

k = 6
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: E

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): B: 14, C: 11
2. C (11): E: 25
3. B (14): D: 26, E: 23
4. E (23): D: 25, F: 36
5. D (25)
6. F (36)

vòng 4

E

Đáp số

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms