Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Quicksort luôn dùng phần tử đầu tiên làm pivot. Trên đầu vào nào nó thể hiện hành vi xấu nhất?

  1. AMột mảng có thứ tự ngẫu nhiên
  2. BMột mảng có độ dài 2
  3. CMột mảng mà các phần tử đều khác nhau
  4. DMột mảng đã được sắp xếp
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Bài toán thỏa mãn nào sau đây được biết là giải được trong thời gian đa thức?

  1. A3-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có đúng ba literal
  2. B2-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có tối đa hai literal
  3. CSAT tổng quát trên các công thức dạng chuẩn tắc hội
  4. DThỏa mãn mạch
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Vì sao đống nhị phân có thể lưu trong mảng mà không cần con trỏ?

  1. AĐống không bao giờ chứa quá 100 phần tử
  2. BNó là cây nhị phân đầy đủ, nên các vị trí tuân theo công thức chỉ số đơn giản
  3. CMọi khóa trong đống đều bằng nhau
  4. DMảng tự động giữ các khóa theo thứ tự đã sắp, nên không cần con trỏ
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây Fenwick (cây chỉ mục nhị phân) trên một mảng n số hỗ trợ những thao tác nào trong O(log n)?

  1. ATìm trung vị trong O(1)
  2. BChèn phần tử vào vị trí bất kỳ
  3. CSắp xếp mảng và tìm kiếm nhị phân
  4. DTruy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 4 đỉnh bậc 4, 4 đỉnh bậc 5, 2 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

4 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 2 bắt đầu và kết thúc tại F? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Một mảng đã được sắp xếp

Vì sao đây là đáp án

Trên đầu vào đã sắp xếp, pivot luôn là giá trị nhỏ nhất, nên một bên rỗng và bên kia có n − 1 phần tử, cho O(n²).

Đáp số

D · Một mảng đã được sắp xếp
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · 2-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có tối đa hai literal

Vì sao đây là đáp án

2-SAT thuộc P (thời gian tuyến tính qua các thành phần liên thông mạnh), trong khi 3-SAT là NP-đầy đủ.

Đáp số

B · 2-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có tối đa hai literal
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Nó là cây nhị phân đầy đủ, nên các vị trí tuân theo công thức chỉ số đơn giản

Vì sao đây là đáp án

Tính đầy đủ nghĩa là không có khoảng trống, nên các con của chỉ số i luôn ở 2i + 1 và 2i + 2.

Đáp số

B · Nó là cây nhị phân đầy đủ, nên các vị trí tuân theo công thức chỉ số đơn giản
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Truy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử

Vì sao đây là đáp án

Cây Fenwick lưu các tổng từng phần trên các khoảng xác định bởi các bit thấp của mỗi chỉ số, nên cả tổng tiền tố lẫn cập nhật điểm đều tốn O(log n).

Đáp số

D · Truy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 22

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 40 = 2(L + 10) − 2
L = 22

Đáp số

L = 22

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 2

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 2

Đáp số

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms