Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Đệ quy của sắp xếp trộn có bao nhiêu tầng đối với một mảng n phần tử?

  1. AKhoảng n / 2
  2. BKhoảng √n
  3. CKhoảng n
  4. DKhoảng log₂ n
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Với biến thể bài toán cái túi nào thì quy tắc tham lam "lấy các món theo thứ tự giá trị trên cân nặng" luôn cho đáp án tối ưu?

  1. AKhông biến thể nào
  2. BCả hai biến thể
  3. CBài toán cái túi 0/1, trong đó các món luôn phải được lấy nguyên
  4. DCái túi phân số, trong đó các món có thể bị chia nhỏ
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Chương trình đang chạy dùng cấu trúc dữ liệu nào để theo dõi các lời gọi hàm đang hoạt động và biến cục bộ của chúng?

  1. ANgăn xếp lời gọi (call stack)
  2. BHàng đợi bộ nhớ heap
  3. CCây tìm kiếm nhị phân các khung
  4. DBảng băm các hàm
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Bộ lọc Bloom có thể trả lời "phần tử này có trong tập không?" với:

  1. ACó thể có dương tính giả nhưng không có âm tính giả
  2. BLuôn luôn chính xác
  3. CChỉ trả lời cho các số
  4. DCó thể có âm tính giả nhưng không có dương tính giả
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 4 đỉnh bậc 3, 4 đỉnh bậc 5, 2 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

4 × deg 34 × deg 52 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
9819141182054ABCDEFG

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Khoảng log₂ n

Vì sao đây là đáp án

Chia đôi từ n xuống 1 mất khoảng log₂ n tầng, và mỗi tầng thực hiện công việc trộn O(n), cho O(n log n).

Đáp số

D · Khoảng log₂ n
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Cái túi phân số, trong đó các món có thể bị chia nhỏ

Vì sao đây là đáp án

Khi các món có thể chia nhỏ, tỷ lệ tốt nhất trước là tối ưu; trong cái túi 0/1, một món có tỷ lệ cao có thể chặn một tổ hợp tốt hơn, nên cần quy hoạch động.

Đáp số

D · Cái túi phân số, trong đó các món có thể bị chia nhỏ
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Ngăn xếp lời gọi (call stack)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi lời gọi đẩy một khung ngăn xếp và mỗi lần trả về lấy nó ra, đó là lý do lời gọi gần nhất kết thúc trước.

Đáp số

A · Ngăn xếp lời gọi (call stack)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Có thể có dương tính giả nhưng không có âm tính giả

Vì sao đây là đáp án

Nếu bất kỳ bit nào của một phần tử là 0 thì chắc chắn nó vắng mặt; nếu tất cả là 1 thì có lẽ nó có mặt. Bộ lọc Bloom đánh đổi độ chính xác lấy rất ít bộ nhớ.

Đáp số

A · Có thể có dương tính giả nhưng không có âm tính giả
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 18

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 36 = 2(L + 10) − 2
L = 18

Đáp số

L = 18

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 45

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

DE (1): lấy
GE (4): lấy
GC (5): lấy
AC (8): lấy
AB (9): lấy
CE (14): bỏ qua, tạo chu trình
EF (18): lấy

Tổng trọng số

W = 1 + 4 + 5 + 8 + 9 + 18 = 45

Đáp số

W = 45

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms