Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Trong một mảng đã sắp xếp, bạn tìm hai phần tử có tổng bằng giá trị đích bằng cách di chuyển một con trỏ từ mỗi đầu vào trong. Độ phức tạp thời gian là bao nhiêu?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Bài toán người bán hàng rong được phân loại thế nào?

  1. ANó bất khả quyết định
  2. BPhiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó
  3. CNó thuộc P vì thuật toán Dijkstra giải được nó bằng cách thăm mỗi thành phố một lần
  4. DPhiên bản quyết định thuộc P nhưng phiên bản tối ưu hóa là NP-đầy đủ
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Kiểm tra cạnh (u, v) có tồn tại hay không bằng ma trận kề mất bao lâu?

  1. AO(log V)
  2. BO(1)
  3. CO(V)
  4. DO(E)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Ưu điểm chính của skip list so với danh sách liên kết đã sắp xếp là gì?

  1. ANó lưu khóa không có thứ tự
  2. BTìm kiếm O(1) được đảm bảo vì mỗi nút lưu một con trỏ tới mọi nút khác
  3. CTìm kiếm kỳ vọng O(log n) nhờ dùng nhiều tầng con trỏ tiến
  4. DNó không dùng thêm bộ nhớ
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 4 đỉnh bậc 3, 3 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

4 × deg 33 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi độ dài 3 từ E đến C? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 3
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Nếu tổng quá nhỏ thì con trỏ trái dịch sang phải, nếu quá lớn thì con trỏ phải dịch sang trái, nên có tối đa n bước.

Đáp số

D · O(n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Phiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó

Vì sao đây là đáp án

"Có hành trình nào dài tối đa k không?" là NP-đầy đủ; tìm hành trình ngắn nhất là NP-khó, vì ít nhất cũng khó bằng.

Đáp số

B · Phiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · O(1)

Vì sao đây là đáp án

Phần tử ma trận ở hàng u, cột v cho biết ngay cạnh có tồn tại hay không; danh sách kề có thể phải quét các láng giềng của u.

Đáp số

B · O(1)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Tìm kiếm kỳ vọng O(log n) nhờ dùng nhiều tầng con trỏ tiến

Vì sao đây là đáp án

Các tầng ngẫu nhiên cho phép tìm kiếm bỏ qua nhiều nút, cho tìm kiếm, chèn và xóa kỳ vọng O(log n).

Đáp số

C · Tìm kiếm kỳ vọng O(log n) nhờ dùng nhiều tầng con trỏ tiến
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 6

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 18 = 2(L + 7) − 2
L = 6

Đáp số

L = 6

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 5

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Thêm một bước

(M³)EC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 1·0 + 3·1 + 1·0 = 5

Đáp số

N = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms