Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của thuật toán quy hoạch động chuẩn cho dãy con chung dài nhất của các chuỗi có độ dài m và n là gì?

  1. AO(2m+n)
  2. BO(mn log n)
  3. CO(m + n)
  4. DO(mn)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Chi phí khấu hao của việc tăng một bộ đếm nhị phân là bao nhiêu, biết rằng một lần tăng có thể lật nhiều bit?

  1. AO(log n) mỗi lần tăng
  2. BO(n) mỗi lần tăng
  3. CO(n log n) mỗi lần tăng
  4. DO(1) mỗi lần tăng
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Thuật toán Dijkstra dùng kiểu dữ liệu trừu tượng nào để chọn đỉnh kế tiếp cần xử lý?

  1. AHàng đợi ưu tiên min
  2. BMột tập không có thứ tự
  3. CNgăn xếp
  4. DHàng đợi FIFO
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây splay làm gì sau mỗi lần truy cập?

  1. AXây lại toàn bộ cây ở dạng cân bằng
  2. BXoay nút vừa truy cập lên gốc
  3. CTô lại màu các nút trên đường tìm kiếm
  4. DChuyển nút vừa truy cập xuống một lá
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K8 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K8
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 2 bắt đầu và kết thúc tại B? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(mn)

Vì sao đây là đáp án

Bảng có (m + 1)(n + 1) ô và mỗi ô được tính trong O(1) từ các ô lân cận.

Đáp số

D · O(mn)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(1) mỗi lần tăng

Vì sao đây là đáp án

Qua n lần tăng, bit i lật khoảng n / 2ⁱ lần, nên tổng là dưới 2n lần lật, trung bình O(1) mỗi lần.

Đáp số

D · O(1) mỗi lần tăng
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Hàng đợi ưu tiên min

Vì sao đây là đáp án

Hàng đợi ưu tiên min, thường là đống nhị phân, trả về hiệu quả đỉnh chưa thăm có khoảng cách nhỏ nhất.

Đáp số

A · Hàng đợi ưu tiên min
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Xoay nút vừa truy cập lên gốc

Vì sao đây là đáp án

Splay đưa nút vừa truy cập lên gốc bằng các phép xoay; một thao tác đơn lẻ có thể tốn O(n), nhưng chi phí khấu hao là O(log n).

Đáp số

B · Xoay nút vừa truy cập lên gốc
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 2520

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Đáp số

H = 2520
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 3

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)BB = 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 3

Đáp số

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms