Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Quy hoạch động hữu ích khi một bài toán có:

  1. AMột vòng lặp duy nhất
  2. BHoàn toàn không có bài toán con, nên có thể giải trong một bước
  3. CChỉ các đầu vào ngẫu nhiên
  4. DCác bài toán con chồng lặp và cấu trúc con tối ưu
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Phát biểu nào về việc chọn phần tử nhỏ thứ k của một mảng chưa sắp xếp là đúng?

  1. AViệc chọn luôn cần Ω(n log n) vì nó đòi hỏi sắp xếp
  2. BViệc chọn chỉ có thể thực hiện trong O(n²)
  3. CQuickselect chạy trong O(log n) ở trường hợp xấu nhất, vì nó chỉ đệ quy một phía của phần tử chốt
  4. DQuickselect chạy trong thời gian kỳ vọng O(n), và trung vị của các trung vị đảm bảo O(n) trong trường hợp xấu nhất
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cây AVL và cây đỏ-đen đảm bảo:

  1. AKhông nút nào có hai con
  2. BChiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại
  3. CTìm kiếm thời gian hằng số trong mọi trường hợp
  4. DCác khóa được lưu theo thứ tự chèn
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Trong bảng băm dùng địa chỉ mở, vì sao việc xóa thường được thực hiện bằng dấu "tombstone"?

  1. ANó làm bảng được sắp xếp
  2. BCác khóa đã xóa phải được giữ mãi vì lý do bảo mật, nên các ô không bao giờ được tái sử dụng
  3. CTombstone làm băm nhanh hơn
  4. DLàm trống ô có thể phá vỡ chuỗi dò của các khóa khác
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K7 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K7
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi độ dài 2 từ A đến E? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Các bài toán con chồng lặp và cấu trúc con tối ưu

Vì sao đây là đáp án

Lưu kết quả của các bài toán con chồng lặp (ghi nhớ hoặc lập bảng) tránh công việc lặp lại, biến các thuật toán hàm mũ thành đa thức.

Đáp số

D · Các bài toán con chồng lặp và cấu trúc con tối ưu
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Quickselect chạy trong thời gian kỳ vọng O(n), và trung vị của các trung vị đảm bảo O(n) trong trường hợp xấu nhất

Vì sao đây là đáp án

Công việc kỳ vọng của Quickselect là n + n/2 + n/4 + ... = O(n) với pivot ngẫu nhiên; chọn pivot là trung vị của các trung vị làm trường hợp xấu nhất tuyến tính.

Đáp số

D · Quickselect chạy trong thời gian kỳ vọng O(n), và trung vị của các trung vị đảm bảo O(n) trong trường hợp xấu nhất
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Chiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại

Vì sao đây là đáp án

Cây tự cân bằng giữ chiều cao ở mức logarit, nên tìm kiếm, chèn và xóa là O(log n) trong trường hợp xấu nhất.

Đáp số

B · Chiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Làm trống ô có thể phá vỡ chuỗi dò của các khóa khác

Vì sao đây là đáp án

Nếu ô đã xóa trở thành trống, các lần tìm sau có thể dừng sớm và bỏ sót những khóa được đặt xa hơn trên chuỗi dò.

Đáp số

D · Làm trống ô có thể phá vỡ chuỗi dò của các khóa khác
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 360

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Đáp số

H = 360
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 1

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)AE = 0·0 + 1·1 + 0·1 + 0·1 + 0·0 = 1

Đáp số

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms