Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thuật toán sắp xếp nào là ổn định?

  1. ASắp xếp chọn (phiên bản điển hình)
  2. BSắp xếp vun đống
  3. CSắp xếp trộn
  4. DQuicksort (phiên bản tại chỗ điển hình)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Bài toán người bán hàng rong được phân loại thế nào?

  1. ANó bất khả quyết định
  2. BPhiên bản quyết định thuộc P nhưng phiên bản tối ưu hóa là NP-đầy đủ
  3. CNó thuộc P vì thuật toán Dijkstra giải được nó bằng cách thăm mỗi thành phố một lần
  4. DPhiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Tìm một từ có độ dài L trong trie với bảng chữ cái cố định mất bao lâu?

  1. AO(L × n)
  2. BO(log n), với n là số từ
  3. CO(L), không phụ thuộc số từ được lưu
  4. DO(n), với n là số từ
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây Fenwick (cây chỉ mục nhị phân) trên một mảng n số hỗ trợ những thao tác nào trong O(log n)?

  1. ATruy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử
  2. BTìm trung vị trong O(1)
  3. CChèn phần tử vào vị trí bất kỳ
  4. DSắp xếp mảng và tìm kiếm nhị phân
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 12 đỉnh và 21 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 12|E| = 21
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi độ dài 2 từ A đến C? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Sắp xếp trộn

Vì sao đây là đáp án

Sắp xếp trộn ổn định khi việc trộn lấy từ nửa trái trước nếu bằng nhau. Quicksort tại chỗ, sắp xếp vun đống và sắp xếp chọn thường không ổn định.

Đáp số

C · Sắp xếp trộn
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Phiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó

Vì sao đây là đáp án

"Có hành trình nào dài tối đa k không?" là NP-đầy đủ; tìm hành trình ngắn nhất là NP-khó, vì ít nhất cũng khó bằng.

Đáp số

D · Phiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · O(L), không phụ thuộc số từ được lưu

Vì sao đây là đáp án

Mỗi ký tự chọn một con, nên tra cứu mất L bước bất kể trie chứa bao nhiêu từ.

Đáp số

C · O(L), không phụ thuộc số từ được lưu
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Truy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử

Vì sao đây là đáp án

Cây Fenwick lưu các tổng từng phần trên các khoảng xác định bởi các bit thấp của mỗi chỉ số, nên cả tổng tiền tố lẫn cập nhật điểm đều tốn O(log n).

Đáp số

A · Truy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 10

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

12 − 1 = 11

Các cạnh cần bỏ

k = 21 − 11 = 10

Đáp số

k = 10
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 1

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)AC = 0·1 + 1·1 + 1·0 + 0·0 + 0·1 + 0·0 = 1

Đáp số

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms