Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.
1Công thức và phương pháp
Lý thuyết đồ thị
Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij
Phương pháp
Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).
2Bài tập
1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình
Trong bài toán chọn hoạt động, quy tắc tham lam nào luôn cho số hoạt động không chồng lấn tối đa?
AChọn hoạt động bắt đầu sớm nhất
BChọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
CChọn hoạt động ngắn nhất trước
DChọn hoạt động có ít chồng lấn nhất trước, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó
Bài toán cái túi 0/1 giải bằng quy hoạch động mất thời gian O(nW). Vì sao điều này được gọi là giả đa thức?
AW là một giá trị số, nên thời gian là hàm mũ theo số bit dùng để viết W
BVì thuật toán là ngẫu nhiên và thời gian chạy thay đổi theo từng đầu vào
CVì nó chỉ hoạt động khi W = 0
DVì n luôn nhỏ
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình
Một mạng lưới đường có 100,000 giao lộ, mỗi giao lộ nối với khoảng 4 giao lộ khác. Cách biểu diễn nào phù hợp nhất?
AMột đống nhị phân các cạnh
BMột mảng đỉnh đã sắp xếp đơn lẻ
CMa trận kề
DDanh sách kề
4.Cấu trúc dữ liệuKhó
Với băm đồng nhất đơn giản, thời gian kỳ vọng của một lần tìm kiếm trong bảng băm xâu chuỗi, với n khóa và m ngăn, là bao nhiêu?
AO(m)
BO(1 + α), với α = n / m
CO(n)
DO(log n)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.
|V| = 6|E| = 7
1Chu trình Euler
2Đường đi Euler, không có chu trình
3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 4; bản thân A là vòng 1.
bắt đầu: Avòng 4
1A
2B
3C
4D
5E
6F
7G
3Dung dịch
1.Thuật toán và độ phức tạp
Đáp số: B · Chọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
Vì sao đây là đáp án
Chọn thời điểm kết thúc sớm nhất có thể được chứng minh là tối ưu bằng lập luận hoán đổi; các quy tắc khác đều có phản ví dụ.
Đáp số
B · Chọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
2.Thuật toán và độ phức tạp
Đáp số: A · W là một giá trị số, nên thời gian là hàm mũ theo số bit dùng để viết W
Vì sao đây là đáp án
Thời gian chạy là đa thức theo giá trị của W nhưng là hàm mũ theo độ dài của nó (log W bit); bài toán cái túi 0/1 là NP-đầy đủ.
Đáp số
A · W là một giá trị số, nên thời gian là hàm mũ theo số bit dùng để viết W
3.Cấu trúc dữ liệu
Đáp số: D · Danh sách kề
Vì sao đây là đáp án
Ma trận sẽ cần 1010 ô, gần như đều trống; danh sách kề chỉ lưu khoảng 400,000 mục cạnh.
Đáp số
D · Danh sách kề
4.Cấu trúc dữ liệu
Đáp số: B · O(1 + α), với α = n / m
Vì sao đây là đáp án
Tính hàm băm tốn O(1) và độ dài chuỗi kỳ vọng là α, nên giữ α bị chặn bằng cách đổi kích thước cho thời gian kỳ vọng O(1).
Đáp số
B · O(1 + α), với α = n / m
5.Lý thuyết đồ thị
Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình
Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.
Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.
6.Lý thuyết đồ thị
Đáp số: D
Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.