Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Cận dưới của sắp xếp dựa trên so sánh trong trường hợp xấu nhất là:

  1. AΩ(n log n)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(log n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Phải chứng minh hai điều nào để chứng tỏ một bài toán quyết định X là NP-đầy đủ?

  1. AX quy dẫn về một bài toán trong P, và X thuộc NP
  2. BX không có thuật toán đa thức, và X quyết định được
  3. CX thuộc NP, và một bài toán NP-đầy đủ đã biết quy dẫn về X trong thời gian đa thức
  4. DX thuộc P, và X quy dẫn về SAT
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Ma trận kề của một đồ thị có V đỉnh dùng bao nhiêu bộ nhớ?

  1. AO(V²)
  2. BO(log V)
  3. CO(E)
  4. DO(V + E)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Thuật toán Kahn cho sắp xếp tô-pô liên tục loại bỏ các đỉnh có bậc vào 0. Cấu trúc nào chứa các đỉnh đó?

  1. AMột ma trận kề ghi lại những đỉnh đã bị loại
  2. BMột ngăn xếp gồm mọi cạnh đã thăm
  3. CMột hàng đợi (hoặc bất kỳ tập hợp nào) các đỉnh có bậc vào 0
  4. DMột đống max sắp theo bậc ra
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K6 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K6
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
9847311413ABCDEF

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 5; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Ω(n log n)

Vì sao đây là đáp án

Mọi thuật toán sắp xếp dựa trên so sánh cần ít nhất log₂(n!) ≈ n log n phép so sánh trong trường hợp xấu nhất. Sắp xếp đếm vượt qua giới hạn này vì nó không so sánh.

Đáp số

A · Ω(n log n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · X thuộc NP, và một bài toán NP-đầy đủ đã biết quy dẫn về X trong thời gian đa thức

Vì sao đây là đáp án

Việc thuộc NP cho thấy X không khó hơn NP; phép quy dẫn từ một bài toán NP-đầy đủ đã biết cho thấy X khó ít nhất bằng toàn bộ NP.

Đáp số

C · X thuộc NP, và một bài toán NP-đầy đủ đã biết quy dẫn về X trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · O(V²)

Vì sao đây là đáp án

Ma trận kề lưu V × V phần tử, hiệu quả với đồ thị dày; danh sách kề dùng O(V + E), tốt hơn cho đồ thị thưa.

Đáp số

A · O(V²)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Một hàng đợi (hoặc bất kỳ tập hợp nào) các đỉnh có bậc vào 0

Vì sao đây là đáp án

Các đỉnh sẵn sàng được giữ trong hàng đợi; loại một đỉnh làm giảm bậc vào của các láng giềng, và đỉnh nào đạt 0 được thêm vào, cho thời gian O(V + E).

Đáp số

C · Một hàng đợi (hoặc bất kỳ tập hợp nào) các đỉnh có bậc vào 0
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 60

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Đáp số

H = 60
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: D

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): C: 9
2. C (9): B: 17, E: 16
3. E (16): D: 19, F: 20
4. B (17)
5. D (19)
6. F (20)

vòng 5

D

Đáp số

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms