Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Cận dưới của sắp xếp dựa trên so sánh trong trường hợp xấu nhất là:

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n²)
  3. CΩ(n)
  4. DΩ(n log n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Phép nhân Karatsuba thỏa mãn T(n) = 3T(n/2) + O(n). Nghiệm của nó là gì?

  1. AΘ(n3)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(nlog₂ 3), khoảng n1,585
  4. DΘ(n log n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một bảng băm kích thước 7 dùng h(k) = k mod 7 và dò tuyến tính. Sau khi chèn 10, 17 được lưu ở đâu?

  1. AChỉ số 4
  2. BChỉ số 3
  3. CChỉ số 6
  4. DChỉ số 0
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Chi phí thời gian và không gian bổ sung của việc đảo ngược danh sách liên kết đơn tại chỗ là bao nhiêu?

  1. AThời gian O(n) và không gian bổ sung O(1)
  2. BThời gian O(1) và không gian bổ sung O(1)
  3. CThời gian O(n log n) và không gian bổ sung O(1)
  4. DThời gian O(n) và không gian bổ sung O(n)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
1111014214310ABCDEF

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 3; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Ω(n log n)

Vì sao đây là đáp án

Mọi thuật toán sắp xếp dựa trên so sánh cần ít nhất log₂(n!) ≈ n log n phép so sánh trong trường hợp xấu nhất. Sắp xếp đếm vượt qua giới hạn này vì nó không so sánh.

Đáp số

D · Ω(n log n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Θ(nlog₂ 3), khoảng n1,585

Vì sao đây là đáp án

Vì log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, các lá chiếm ưu thế theo định lý chủ, thắng phương pháp nhân kiểu học sinh O(n²).

Đáp số

C · Θ(nlog₂ 3), khoảng n1,585
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Chỉ số 4

Vì sao đây là đáp án

10 mod 7 = 3 và 17 mod 7 = 3; chỉ số 3 đã bị chiếm, nên dò tuyến tính thử ô kế tiếp, chỉ số 4.

Đáp số

A · Chỉ số 4
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Thời gian O(n) và không gian bổ sung O(1)

Vì sao đây là đáp án

Giữ ba con trỏ (trước, hiện tại, kế tiếp) cho phép đảo từng liên kết trong một lượt mà không cấp phát nút mới.

Đáp số

A · Thời gian O(n) và không gian bổ sung O(1)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Các đỉnh lẻ

B, C → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: E

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): B: 11, C: 1
2. C (1): E: 3
3. E (3): D: 17, F: 6
4. F (6)
5. B (11)
6. D (17)

vòng 3

E

Đáp số

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms